柯西收敛准则六种形式

柯西收敛准则没有六种形式，只有一种形式，柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。

充分性

由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理;他刻画了解析函数的又一种定义;人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。

柯西积分公式的基本内容是这样叙述的:若函数f(z)在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析，在区域D的边界C上连续，z0 是区域D内任意一点，则有柯西积分公式。

柯西积分公式对于无界区域也成立:如果无界区域 D(包含∞在内， D的边界是有限条简单闭曲线C，函数在内除了点∞外是解析的。

(其中C的方向取负方向，ζ是一个记号，仅为了与z区分)。

柯西积分公式说明:如果一个函数在简单闭合曲线C的内部解析，在C上连续，则函数在C内部的值完全可由C上的值而定。