函数f（x）=x2-alnx（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性（2）设函数Y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l

（1）由已知得，f′(x)＝2x

a

x

＝

2x2a

x

，且函数f（x）的定义域为（0，+∞），

当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞0时，令f′（x）=0，得x＝

a 2

（舍），x=

a 2

．

当x∈(0，

a 2

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈(

a 2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

a＞0时，f（x）在(0，

a 2

)上单调递减，在(

a 2

，+∞)上单调递增；

（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在点A（1，f（1））处的切线l的方程为：

y=（2-a）（x-1）+1．

∵l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，

∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x2-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．

则h（x）在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是函数的极值点．

而h′(x)＝2x

a

x

(2a)＝

(2x+a)(x1)

x

．

若1≠

a

2

，则x=1和x=

a

2

都是函数的极值点，

∴1=

a

2

，即a=-2；

（3）由题意知方程x2-alnx-ax=0有唯一实数解，

设g(x)＝2x

a

x

a＝

2x2axa

x

．

令g′（x）=0，解得x1＝

a a2+8a

4

（舍），x2＝

a+ a2+8a

4

．

当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．

∴当x=x2时，g（x）取得最小值g（x2）．

则要使方程f（x）=ax有唯一实数解，只有

g′(x)＝0 g(x)＝0

，

即

2x22ax2a＝0 x22alnx2ax2＝0

，即2alnx2+ax2-a=0．

∵a＞0，

∴2lnx2+x2-1=0．

设u（x）=2lnx+x-1，则x＞0时，u′(x)＝

2

x

+1＞0，u（x）单调递增，

∴u（x）至多有一解，

又∵u（1）=0，

∴方程2alnx2+ax2-a=0的解为x2=1．

即

a+ a2+8a

4

＝1，解得a=1．

解： 1) 函数f(x)=x^2 alnx的定义域是（0， ∞），因为a=-2 所以f(x)=x^2-2lnx f′(x)=2x-2/x。令f′(x)=0，得x=1所以当0<x<1时，有f′(x)=2x-2/x<0,故函数f(x)是在区间（0，1）上递减。 2) g(x)=f(x) (2/x)=x^2 alnx (2/x) 所以：g'(x)=2x (a/x)-(2/x^2)=(2x^3 ax-2)/x^2 因为x∈[1, ∞)，所以：x^2＞0 则，令h(x)=2x^3 ax-2 要满足g(x)在[1, ∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零， 即函数h(x)在该区间上的最小值大于零 h'(x)=6x^2 a，h''(x)=12x＞0 所以，h'(x)为单调增函数 所以，h'(x)在[1, ∞)上的最小值为h'(1)=6 a 所以，6 a＞0 则a＞-6