初中数学必背概念及性质

第一章 数与式

第一节 数

　　1数的相关概念

　　2数的分类

　　3有理数的大小比较

　　4数的计算

　　5科学计数法

　　第二节 代数式和整式

　　1代数式

　　2整式的相关概念

　　3整式的加减运算

　　4整式的乘除运算

　　5乘法公式

　　6整数指数幂的运算法则

　　7因式分解

　　第三节 分 式

　　1分式的有关概念

　　2分式的性质

　　3分式的运算

　　第四节 数的开方和二次根式

　　1数的开方

　　2二次根式

　　第二章 方程（组）与不等式（组）

　　第一节 整式方程

　　1等式与方程

　　2一元一次方程

　　3一元二次方程

　　第二节 分式方程

　　1分式方程的相关概念

　　2分式方程的解法

　　第三节 二元一次方程和方程组

　　1二元一次方程

　　2二元一次方程组

　　3三元一次方程组

　　第四节 不等式（组）

　　1不等式及其解集

　　2不等式的分类

　　3不等式的基本性质

　　4一元一次不等式

　　5一元一次不等式组

　　第三章 变量与函数

　　第一节 平面直角坐标系和函数初步

　　1平面直角坐标系概述

　　2函数的相关概念

　　3函数的表示方法

　　4函数图象的画法

　　第二节 几种常见函数

　　1一次函数（正比例函数）

　　2反比例函数

　　3二次函数

　　第四章 图形的初步认识

　　第一节 线与角

　　1直线、射线和线段

　　2角

　　3相交线

　　4平行线

　　第二节 三角形及其全等

　　1三角形的有关概念

　　2三角形的分类

　　3三角形的主要性质

　　4三角形的主要线段

　　5全等三角形

　　第三节 等腰三角形和直角三角形

　　1等腰三角形

　　2直角三角形

　　第四节 多边形与四边形

　　1四边形与多边形的相关概念

　　2平行四边形

　　3矩形

　　4菱形

　　5正方形

　　6梯形

　　第五章 圆

　　1圆的有关概念

　　2圆的有关性质

　　3与圆有关的位置关系

　　4多边形和圆

　　5正多边形和圆

　　6与圆相关的计算

　　7尺规作图

　　第六章 空间与图形

　　第一节 图形的对称、平移和旋转

　　1轴对称

　　2中心对称

　　3平移

　　4旋转

　　第二节 相 似

　　1比例的相关概念

　　2比例的性质

　　3平行线与比例有关的定理

　　4相似三角形

　　5相似多边形与位似图形

　　第三节 解三角形

　　1锐角三角函数

　　2解直角三角形

　　第四节 视图与投影

　　1立体图形的基本概念

　　2视图

　　3投影

　　第七章 统计与概率

　　第一节 统 计

　　1统计调查

　　2数据的处理

　　3统计图表

　　4数理统计的基本思想

　　第二节 概 率

　　1事件

　　2概率及计算

　　3概率模型

        函数，是在初中下半学期所最先接触到的新的数学概念，在此之前从未出现过，那么，函数到底是一个怎样的概念呢？它的名字中含有数，但具体到底是数还是两个数之间的关系？函数又在生活中有着哪些应用，会出现在生活中的哪些地方呢？又会延伸出哪些新的知识点呢？本篇文章，便让我们探索一下函数吧：

      说到和函数有关的数学概念，最绕不开的就是量了，而量又分为两种，分别是变量和定量，变量就是在一个变化过程中，含义不变，但是数字改变的量。直接说性质可能有点不太好理解，那我就再去一些现实中的例子吧：你要去买练字本，一本练字本¥20。你要买一本练字本，要花¥20，要买两本练字本，要花¥40，要买三本练字本，则要花¥60，以此类推，你每买一本练字本，要付的价钱就要多¥20，所以你要买这些练字本所花的总价一直在变化，但是虽然总价的数值在变化，但它的含义还是买练习本所画的总价，从没有变成别的东西的，总价或者变成一个单价，那么我们就称买练习本所花的总价为变量。再比如，一天中的温度总是在变化，但是这些变化后的量还是那一天中的温度，所以温度是一个变量。定量呢？则是和变量差不多的，可数值不会发生变化的量，比如一本练字本的单价是¥40，如果不进行打折促销活动，它的单价便固定为40元，而不会像变量一样随随便便动来动去，那么，这种练字本的单价便是一个定量。

    成功区分变量和定量，我又发现在变量之中也有两个分支，分别是自变量和因变量，自变量和因变量是一串串在一起的量，互相关联，而因变量会随着自变量的改变随之改变，自变量和因变量在现实中出现的例子有很多，为了前后统一，还是举练习本的例子：练习本的总价和练习本的个数都是变量，也就是数值会变而意义不会变的量，只要细心观察，便可以从它们两个变量中发现一种先后关系：只有练习本的个数这个变量改变了，才会让练习本的总价改变，练习本的总价的改变是基于练习本的个数的改变之上的，是受限制于练习本的个数的，因此，练习本的个数是自己改变的量，也就是自变量，练习本的总价是因为练习本的个数而改变的量，也就是因变量。

    讲完那么多量，我们便可以将函数的谜底揭晓，函数其实并不是一个数，而是指两个变量之间的关系，（是不是非常奇妙？一个名字中带有数的概念，竟然不是数，而是关系，具体的定义为：在一个变化过程中，有两个变量，自变量X与因变量Y，且对于自变量X的任意一个值，因变量Y都有唯一的值与之对应，那么我们称Y是X的函数。请大家回想一下之前举过的例子，是不是任意一个练字本的个数都对应着一个练字本的总价，如果练字本的个数为二，那么它的总价就唯一一定是40，如果练字本的个数为三，那么它的总价就惟一一定是60，其余的例子也都符合这种情况。函数可以在平面直角坐标系上清晰地表示出来：下面是练字本的个数，以练字本的总价之间的函数图像：

      从函数图像中，我们仍然可以看得到上面函数的每一个自变量和因变量所延伸出来的线都只会相交于一个点上，也就代表了其对应的关系。

    清楚地知道函数到底是什么后，又有一个问题扑了过来：有什么常用的方法可以表示函数关系呢？其实，有三种普遍的方法，可以表示函数关系。

      第一个：列表法

      列出一个表格，再分别将自变量和因变量描绘在表格的上下方，并且将对应的函数放在上下位置，如此，只需一眼就可以清楚地看出自变量和因变量分别是什么，自变量和因变量有什么关系，两者之间的数值是什么，非常的清晰明了，画起来也相对简单，可是却有一个很大的缺点，无法快速表示表格中的函数属于哪种函数（是正比例函数或者反比例函数，无法快速表明）还只能关注在表格里的几个数值，无法进行大面积观察。

    第二个：表达关系式

    在练习本的例子里，可以将自变量和因变量的函数关系归结为一个关系式：y=20x，只需要短短的一个式子，便可以将这个函数关系中的任何事物都表达出来，只需要套用关系式，便可以套出此类函数的任意一种可能，表达清晰，简单明了，符合数学的简洁性，并且还可以快速地辨认它到底属于哪种函数，是一种异常完美的表述方法，可惜有些函数无法用关系式表示，比如说，一天的时间和气温之间的函数，老师会教课的程度和学生的成绩，就无法确切地用一个关系式来总结，（如果可以用一个关系是来总结那还要天气预报和教育局干啥）

    第三个：平面直角坐标系表达：

      画出一个平面直角坐标系，并且确定横纵轴，并分别将自变量和因变量的数值画在数轴上，并依次连线画点，将一各个平面直角坐标系的小点用线相连，便顺利表达出了想表达的函数关系式。此类表述方法表达清晰，虽然找到自变量和因变量线的交汇点所代表的数值可能会有些困难，但仍然相对来说比较简单，而且一各个小点相连后会显示出一种图案，只要根据图案进行判断，便可以很快地判断出这个函数是哪种函数，是最形象的一种表达函数的方法，通俗易懂。不过，画平面直角坐标系可就没有那么简单了，其工作量是前面两种方法之和的两倍还要多。

      函数当然也分很多种种类，根据刚刚学到的表达函数式的方法，尝试着将几组函数y=2x+3，y=2x平方+2，y=2x几组函数画进函数图像里，你发现了什么？是不是发现y=2x+3和y=2x的函数图像呈直线，而另外一个函数的图像则成不规则线，因为成直线函数图像的函数的特殊性，我们将这种函数图像为直线的函数叫做一次函数，这种函数还有一种特点：函数关系式总是符合这个格式：y=kx+b（k不等于0）而且其系数总是为一（正比例函数是特殊的一次函数，在正比例函数中，b=0），接下来的探索便主要围绕着一次函数展开。

    主要研究一次函数，肯定绕不开研究一次函数的性质了，既然我们发现一次函数的特殊就是用的函数图像，那么这次研究一次函数的性质，也可以利用图像进行数形结合研究。

    确定要围绕着函数图像展开的数形结合方法，在开始讨论性质之前，我们必须学会如何准确地绘制函数图像，假设给你一个随随便便的函数式，如何绘制他的函数图像呢？难道是直接画出平面直角坐标，然后再写出数值，最后再按照函数式里表达的关系进行描点？咋一看似乎没什么问题，细看就发现毛病了，首先，在不看函数式的情况下写出数值，这个数值到底能不能很合适的套用函数是是个问题（假设你把平面直角坐标系上的所有单位长度设为1厘米，但是函数式却是y=20x，这便不能很好地表示了），其次，在画完数值之后再套用函数式，也不太直观，要费很多脑筋，看这些问题也只是小问题是吧，那你就需要去亲身体验一下了，反正我是在没有用正确方法的时候绘图，觉得难到天都要塌下来了。

    这可怎么办呢？在经过探索之后，我终于发现了最合适的办法：首先，根据你得到的函数式，列出表格，将X与Y一一对应成数值，这样你就可以清晰的看到每一个x对应的y等于多少了。

      然后，根据表格里所列出来的数建立平面直角坐标系（这里的根据表格意思是根据表格里的数选取正确的象限，采取合适的坐标系单位长度）并根据先前在表格里的数于平面直角坐标系上描点。最后，将描成的点一一连线。这个过程简称为列表格，描点，连线。其中描点这一步已经包含了绘制平面直角坐标系这一步。

      这样，一个清晰明了的平面直角坐标系便产生了，不仅直观，也更加合理。

      接下来，该解决一次函数的性质问题了，第一个问题：对于一次函数图像，哪个点最特殊呢？有人肯定会说，那当然是原点呀，因为原点在四个象限的中心，处于x轴和y轴的交界点。但问题是，原点在任何函数图像里都存在，并且也没有显示出其独特的作用，实在难以说是最特殊的点。可最特殊的点到底是什么呢？

    请观察以上两幅函数图像简图，相信你就能发现一个特殊的点了，那就是函数图像和y轴的交点，以及函数图像和x轴的交点，在函数图像和y轴的焦点上，x轴的坐标为零。在函数图像和x轴的交点上，y轴的坐标为0，这两个点是整个函数图像中唯一与坐标轴相交的点。自然可见其特殊性，在每一副函数图像之中，都有一个这种特殊的，但其位置都各不相同。那么，这个点的位置和什么有关呢？

    一个函数y=2x+3 里，我们将2称做k，也就是这一个函数式里的系数，将3称作b，也就是这一个函数式里的除了X之外的数，难道K或b影响了两个特殊点的位置吗？看下列两个函数式：y=3x-3，y=4x-3，在这里面K不相同，但是b是相同的，所画的函数图像里与y轴的交点一样，y=3x-4，y=4x-3，这两个函数的函数图像与y轴的交点却不样，说明KB里只有B才能影响与y轴的交点，再进一步进行推演，在函数图像与y轴的交点中，X总等于零，当X等于零，那y轴的数值肯定就取决于B了，B是什么数，y轴就是什么数。B有三种可能性，一种是B大于0，这样的话所画出来的函数图像的交点就在y轴的正半轴，一种是B等于零，这样的话所画出来的函数图像的交点就在y轴与X轴的交点：原点，而此时的函数式也就是我们所熟知的正比例函数（从此以后我们说到正比例函数，就不要再用以前的规定方法：比值相等了，可以尝试着改用我们所发现的规律里的分法）最后一种是B小于0，这样的话说画出来的函数图像的交点就在y轴的负半轴。函数图像相交于X轴时，y=0，这时候X轴的坐标便取决于k和b两个数了，经过实验可以得知，当Y等于零，X轴的坐标等于-b➗k。

      当然，函数里的K也对函数图像有一定的作用，根据列表格可以得知，当K大于零，那么y轴就会随着X轴的变大而变大，如果此时画出函数图像的话，就会发现函数图像成斜向上趋势。当K小与零，那么y轴就会随着X轴的变大而变小，如果此时画出函数图像的话，就会发现函数图像成斜向下趋势。

        还是用这两幅简图做个类比，其中右边的图就是K大于零的图，图像斜向上往上走，y随x的变大而变大，左边的图就是K小与零的图，图像斜向下往下走，y随x的变大而变小（同时在重温一下刚才确定的b对函数图像的影响，右边的图相交于y轴的正半轴，所以这个图像所代表的函数式里的B大于0，左边的图相交于y轴的负半轴，所以这个图像所代表的函数式里的B小于0）

      有人看到这又会抛出一个疑问，为什么K不能等于零？其实动动脑筋就想得出来了，当K等于零，就整个函数式就没有了意义，连函数图像都不可能画出来。

      利用函数图像还可以解一元一次方程，以及一元一次不等式，是不是有点抽象呢？那让我列举三个一次函数关系式，0=x+1，0>x+1，0<x+1，其中的第一个式子是不是既可以作为一元一次方程来解，也可以看成是一次函数式？ 接下来，我们需要画出第一个式子的函数简图（因为这个式子里的k，b都>0，根据求出来的一次函数的性质，这一各函数式的简图是这样的：）

      很明显，0=x+1所对应的点就是以上简图的左边的那个点，利用解方程的方法，解出x=-1，在对应到图像上，也就能顺利地求出0=x+1对应的点的坐标：（-1，0），然后再观察这个一元一次不等式0>x+1，x+1都小于零了，说明x肯定小于-1，但是X并不是一个唯一确定的数，而是任意小于负一的数，这些任意小于负一的数与其唯一对应的y点的坐标点一直在X轴的下方，总结一句话就是：X轴下方的无端点射线与y轴的集合所对应的x的值，即是0>x+1的解集，反之亦然，X轴上方的无端点射线与y轴的集合所对应的X的值，即是0<x+1的解集，其中X永远大于-1。以上的这个式子因为K大于零，y随x的增大而增大，才得以有以上结果，如果K小于零，那么所得到的解集也会刚好相反，X大于-1，对应着x轴下方的无端点射线于y轴的集合，x小于-1，对应着X轴上方的无端点射线于y轴的集合。总之，只要你知道了这三个关系式中的一元一次方程的解，通过函数图像，总能判断出另外两个不等式的解集。

      不知道研究进行到了这一步，大家对KB了解的怎么样，可能仍旧有点模糊不清，这时候就需要带入一些生活中的例子了，就举一个汽车的例子吧，汽车离城市的距离以及汽车行驶的时间是一次函数，汽车行驶的时间是自变量，汽车离城市的距离是应变量，这个汽车一开始就离城市有60千米远，并且随后以每小时60千米的时速匀速开出城外，那么由此可以列出一次函数式：y=60x+60，其中的第一个60=一次函数中的k，第二个60等于一次函数中的b。那么在这一个实际情景中，b=什么？其实就是等于这个汽车最开始离城市的距离，也就是初始距离，在其他的一次函数式中，你会发现，虽然这个b的单位不同，有可能是距离也有可能是时间…，但是B的意思始终不变，函数式中的初始数值（这个初始数值可以等于正数负数或者0）。那么k是什么？在本实际情景中，k所代表的60表示汽车的每小时速度，抽象理解一点，k就是y随x变化的量，X每变化一次，y就按照K的值变化这个X的几倍或者几分之一。

      这就是一整个一次函数章节了，在一次函数章节中，我们初步的认识了函数，学会去表达了函数，并且发现了一次函数的性质，以及三个一次之间的关系，并最后利用实际情景解释了k，b的实际意义，当然，一次函数章节只是函数板块中的很小的一点，往后的学习中我们还会接触到各种函数，并学会更多函数延伸出的性质，一次函数的学习，只是打开了我们对函数世界的大门。

           

学生在初学函数以及后续学习中，会遇到很多困难，这与教师在函数概念的教学中所采用的教学方式有着密切关系．以往教材的呈现方式和课堂讲授方法，虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延，但由于函数概念本身的抽象性，学生接受起来还是有较大的困难．新课标更多地强调在数学情境下，学生主动进行知识的建构．

函数概念的引入，需要教师创设符合学生实际的数学情境．从贴近学生实际出发，教材中给出了三个具体的实例，供选择使用．三个例子分别用解析法、列表法和图像法给出，意在呼应下一节的三种表示法．教学中也可以结合所教班级的实际再补充一些实例，如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等．

因为学生初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念，函数的概念引入，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，可以设计如下问题串：

在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应．单值对应是函数对应法则的根本特征。箭头图给出了单值对应从一个集合到另一个集合的方向性，应突出输入与输出的关系．

在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系．建立函数，必须交代定义域．但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练．

在函数定义的教学过程中，需突出以下几点：①集合A与集合B都是非空数集；

②对应法则的方向是从A到B；③强调非空、每一个、惟一这三个关键词．

要注意发展学生的数感、符号感．用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用．应强调函数符号y＝f(x)是y是x的函数的数学表示，它表示f对x作用得到y．应指出f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)是f(x)在x＝a的情况下的一个函数值，一般地，f(a)是一个特殊值，而f(x)是一个变量．

现代信息技术的引入，为学生进一步体会、理解函数的本质，为求函数值、作函数的图像，提供了新的行之有效的工具．

函数思想就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。具体而言，函数思想体现在：（1）认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是相互依存的，即“普遍联系”的思想。（2）于“变化”中寻求“规律”（关系式），即“模式化”思想。（3）于“规律”中追求“有序”、“结构化”、“对称”等思想。（4）感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变化的。（5）根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来。

　高中数学函数教学的方法1

　摘要针对初中高中数学函数教学的现状，探索如何让学生充分参与到函数教学课堂中，如何调动学生学习函数的积极性，以达到良好的函数教学效果尤其高中函数数学，正是高中学生由简单数学逐渐向难度较大过渡阶段作为一名高中数学教师，关键在于如何调动高中学生在数学函数课堂上的积极性与主动性，如何启发学生的数学思维，调动学生学习函数的兴趣度，帮助学生自觉和主动地参与函数教学的课堂活动

　关键词高中数学;函数教学;教学方法;情景教学;案例教学;创新思维

　数学思想是对数学事实、概念和理论的本质认识，是数学知识的高度概括数学方法是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段和工具因此，要求教师必须具备较高而灵活的高中数学函数的教学技巧随着高中数学课程不断改革与素质教育的实施，教学方法的探索与创新，数学教学中要积极引导学生参与课堂，让学生在实践中去感受函数，丰富学生的情感体验，逐步形成正确的良好数学学习行为习惯

　函数是高中数学教学的核心内容，在解决很多数学问题时几乎都要用到函数这一工具，函数的教学在于启发学生的思维，为数理化的学习打下基础，逐渐在解决生活中的问题时建立起数学建模的思想 可以看出高中函数教学在数学学习中的重要，为以后解决社会问题建立数学思维奠定基础

　一、高中数学函数教学方法的探究

　(一)情景教学

　要做到把函数问题生活化，创设简单明了的生活情景，把函数问题生活化，使学生从生活中理解认识并喜欢函数，进而喜欢数学高中数学函数教学是提高学生数学综合思维的关键作为一名高中数学教师，关键要激发学生学习数学的愿望，给学生打造一个锻炼思维和表达的平台据调查，一节有效的课堂关键在于学生思维高度集中，调动学生思维发展思辨能力的提高关键在于激发思维，教师要设计具有较好的思辨能力的高中数学函数的教学方式，以有利于提高学生的综合数学思维创造能力

　现代多媒体的发展已经普及，在教师课堂上已经成为不可或缺的一部分，多媒体教学是现代教学主要工具，而中学生的思维以浅性思维为主，依据学生的个性需求、利用多媒体的特点，去调动学生的积极性，营造情境，有利于创造浓厚课堂氛围，使学生对所学函数知识产生学习愿望，不仅可以调动学生的学习兴趣，而且可以吸引学生的注意力，激发学生的想象力，大大地提高了学生学习的积极性和主动性，从而带来了良好的教学效果

　(二)案例教学

　高中数学函数教学不仅仅局限于使学生掌握基本的函数知识，而要拓展培养学生独立思考、解决并实际运用知识的数学能力因此，要求数学教师在教学中特别注意对函数教学的案例引入与启发通过案例的教学方式，让学生和教师处于相对平等的教与学的地位，使学生更能积极接受相关知识，营造一种积极的氛围教师教学案例方式，可以扩大学生接受知识的兴趣，很好地将理论知识与社会实践有效结合

　在日常的数学函数授课过程中，教师传道授业解惑，积极用自己的知识去武装每一名学生的函数头脑，使他们能够进入一种积极的学习状态如已知一个矩形的周长是60 m，一边长是L m，写出这个矩形的面积S(m2)与这个矩形的一边长L之间的函数关系式;或者比较直观案例，如已知圆的面积是S cm2，圆的半径是R cm，写出圆的面积S与半径R之间的函数关系式这些函数案例都非常容易地把二次函数思维教学引入课堂之中

　(三)创新数学思维的锻炼

　函数和方程思想是中学数学重要的思想方法之一，在不等式教学中巧妙地融合函数与方程的思想解题，使学生于潜移默化中克服思维定式，领会不等式、方程与函数之间的转化，激发学生思维的灵活性高中数学函数教学要与函数与方程(不等式)有效的结合，使学生体会到函数、方程、不等式的统一关系，进一步体现出新教材中数形结合的思想，使学生体会到数学知识之间的连续性可以看出函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系如利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等具体案例为：

　若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解即x的值是多少

　高中数学教学需要学生具有综合性思维，而不是简单浅性思维，这需要高中数学教师不断创新数学教学方式以逐渐培养学生的数学综合思维，要学生从开始就要树立函数本身的思维要求，结合当下新课程改革提出的素质新要求，必须提高学生应用数学函数的能力，使学生不仅掌握扎实的数学函数理论知识，而且具有实际应用数学的能力，这就要求教师教学出发点要创新，学生的思维才能形成，这样高中数学函数知识在以后的数学知识学习中可以轻松应对

　二、结语

　数学函数知识贯穿于高中数学学习的始终，这需要学生从接触函数知识就要产生兴趣，关键在于教师的引导与创新文章针对高中数学教学方法的探究，通过对函数教学方式的研究，提出了情景教学和案例教学的方法，以对高中数学教学效果具有一定作用此外，任何数学知识都是一个体系，是一个有机整体，不是孤立的，这就要求教师创新学生思维锻炼，如函数教学时函数、不等式和方程必须相互联系，这也是高考数学考试的重点，这就需要教师必须加强学生的数学综合性思维的养成

　参考文献

　[1\]吴兰珍高中数学函数教学渗透数学思想方法浅探\[J\]广西教育学院学报，2004(5)

　[2\]邱强生新课改下高中数学函数教学浅谈\[J\]中国校外教育，2012(4)

　[3\]关于高中数学教学方法的问题的探讨

　高中数学函数教学方法2

　摘要：新课程标准中明确提出教学中要加强学生对基本概念和基本思想的理解与掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生加深对数学知识的理解。

　函数既然是数学教学的基础模块，其基本性质基本概念的教学理应受到重视。

　教师在引导学生牢牢掌握基础知识的同时，应该以函数为基础工具，努力开展其他数学模块的教学。

　关键词：高中数学;函数;教学方法

　1把握函数基本性质，理解函数核心概念

　高中数学二次函数教学对于学生而言，的确是一个难点。

　就函数概念而言包括定义、定义域、值域、反函数等。

　函数的性质包括单调性、奇偶性以及周期性。

　11 教学初步，认识函数概念与性质。

　数学函数概念的提出，应该结合教学实际，提出问题、创设情境。

　通过例举与概念相符、直观性较强的例子，让学生在学习抽象的函数概念时，能够形成较为感性的认识。

　在以往的教学中，课堂教学方法虽然能很好地界定函数概念的内涵与外延，可是由于函数本身过于抽象，函数教学初步计划中，学生对函数基本概念的认识过于简单。

　比如，函数基本三要素： 定义域、值域、对应法则的理解。

　定义域是函数自变量的取值范围; 对应法则则是函数最直接的发现方式。

　12 教学深入， 理解函数概念与性质。

　在挖掘函数概念与性质的基础上理解概念和性质是对已经认知的概念的发展与完善。

　新课程标准中要求学生要体验数学概念与性质的产生过程，理解与掌握的基础上能够真正运用其概念与性质。

　函数教学中，函数单调性与周期性的研究是函数课堂教学一直涉及的问题。

　比如指对数函数的单调性教学中，要根据函数的底数的范围( 0，1) 或者是( 1，+ ∞ ) 来判断其单调性，还有函数的单调性则要根据函数图像的拐点来划分单调区间。

　二次函数的三种基本形式：1： 一 般 式：y=ax2+bx+c(a ≠ 0，a，b，c 为常数 )， 则称 y 为 x 的二次函数。

　顶点坐标(-b/2a，4ac-b2/4a );2：顶点式：y=a(x-h)2+k 或y=a(x+m)2+k，顶点坐标为(h，k)或(-m，k);3：交点式(与 x 轴)：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念： a，b，c 为常数，a ≠ 0，且 a 决定二次函数图象的开口方向，a>0 时，开口向上，a<0 时，开口向下。

　a 的绝对值还可以决定开口大小 ， a 的绝对值越大开口就越小 ， a 的绝对值越小开口就越大。

　高中阶段对二次函数定义是：从一个集合 A(定义域)到集合 B(值域)上的映射：A → B，使得集合 B 中的元素y=ax2+bx+c(a ≠ 0，a，b，c 为常数 ) 与集合 A 的元素 X 对应，记为(x)= ax2+bx+c (a ≠ 0，a，b，c 为常数 ) 这里ax2+bx+c 表示对应法则，又表示定义域中的元素 X 在值域中的象，为了让学生掌握函数值的记号，我们可以作如下处理：

　①：已知 f(x)= 2x2+x+2，求 f(a)，f(a+1)这里不能把f(a+1) 理解为x=a+1 时的函数值，只能理解为自变量为a+1 的函数值。

　②：设f(x+1)= x2-4x+1，求 f(x)这是个复合函数问题，求对应法则。

　一般有两种方法：解法 1：把所给表达式 x+1 作为一个整体进行配方：f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6， 再 用 x 替 换 x+1 得f(x)= x2-6x+6解法 2：换元法：这是常用的方法对一般函数都适用。

　令t=x+1，则 x=t-1∴f(t)=(t-1)2- 4(t-1)+1=t2-6t+6 从 而 (x)= x2-6x+6。

　这样处理后对二次函数的定义就有了较清晰的认识了。

　2紧扣函数主导思想，解放单一解题模式

　21 数形结合，巧妙解题。

　数学解题过程中，会涉及到一道题目有多种解题方法的现象。

　特别是一些关于参数的问题，可以从几何学角度来考虑。

　数形结合思想是数学教学的重要思想之一，"以形助数，以数解形"的思想能够使抽象的题目变得直观化、简单化。

　如例题： 如果函数 f( x) = | 4x - x2| + a 的函数与 x 轴有 4 个不同交点，求参数 a的取值范围。

　如果用数形结合的函数思想来解决该问题会有意想不到的效果，观察上式可知，函数的图像是由二次函数经过翻折变换，再平移而得，则本题可看作 y = - a 与 y = |4x - x2| 的图像相交公共点的个数即可讨论 a 的范围。

　22 分类讨论，化繁为简。

　凡是数学结论，其必有使其成立的条件，数学方法的使用也没有完全的绝对性，也必有其适用范围。

　数学研究的很多问题中，它们的结论也不是唯一确定的。

　将繁复的理解过程分解为几个类别，再按照不同情况进行讨论研究这就是数学教学中的分类讨论思想。

　面对结果不明问题或者参数问题都可以运用分类讨论思想。

　一方面分类讨论思想可以将复杂问题分解成简单的小问题，另一方面也可避免漏解，从而提高学生解题能力与严谨的数学素养。

　3结束语

　函数虽然是高中数学教学中的重难点，但是并非是不可攻克的。

　只要掌握正确的教学方法，让学生认识函数、了解函数进而喜欢函数和应用函数。

　函数作为一项重要的工具，将会为学生解决很多问题，数理化中遇到的很多问题，都可以用函数的方法解决。

　当学生在其他学科学习中，发现函数的用处，会切身体会到函数的用处，从而自主自觉的用心学好函数。

　函数的学习能够帮助学生建立起初步的建模思想，这是以后学生在深造的过程中需要具备的重要的解决问题的思想。

　在高中时期学好数学也是为日后深造打好基础。

　参考文献

　[1] 王呼 高中函数教学研究[D]西北师范大学，2006

　[2] 张久鹏 新课改下高中函数教学研究[D]苏州大学，2010

　[3] 常莪 高中函数教学研究与实践[D]云南师范大学，2009

　一次函数是初中数学常考的内容之一，下面我为你整理了初中数学一次函数教案，希望对你有帮助。

初中一次函数教案

　教学目标

　1、经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。 2、理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的数学应用能力。

　教学重点 1、 一次函数、正比例函数的概念及两者之间的关系。 2、 会根据已知信息写出一次函数的表达式。教学难点一次函数知识的运用教学方法教师引导学生自学法教具准备d簧一根、

　课件教学过程

　一、创设问题情境，引入新课 1、 简单复习函数的概念(设在某一变化过程中有两个变量X和Y，如果 ，那么我们称Y是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量) 2、 演示d簧在力的作用下发生形变现象，提出问题：在d簧长度发生变化过程中，d簧的长度是哪个变量的函数为什么 3、 汽车匀速行驶途中，油箱中的剩余油量与什么有关系这其中有函数吗

　二、新课学习 1、 做一做。让学生做书上157页上面两个题目，使学生在探索一般规律的过程中，发展抽象思维能力。 2、 一次函数、正比例函数的概念学习讨论：刚才写出的两个关系式y=3+05x、y=100-018x在形式上有什么相同之处

　让学生分析出他们的共同点：①左边都是因变量，右边都是含自变量的代数式;②自变量X与因变量Y的次数都是1;③从形式上看，形式都为y=kx+b，K，b为常数。

　问：从自变量的次数上看，这样的函数大家认为可以取个什么名字引导学生归纳出一次函数的概念：若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y是因变量)。

　问:一次函数y=kx+b中，k可以为0吗b可以为0吗引导学生得出正比例函数的概念。

　并接着引导学生比较一次函数与正比例函数的关系(用集合的方法比较)：一次函包括正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况。

　3、 例题学习

　例题1是考察学生对一次函数与正比例函数概念的理解，学生直接进行口答。

　例题2是培养学生根据题意列出简单一次函数关系式及利用一次函数解决实际问题的能力。其中第三问严格地讲应先判断出工资的范围是800

　三、随堂练习

　1、找出下面的一次函数，并指出其中K、b的值。若不是一次函数，请说明理由。

　A、y= +x B、y=-08x C、y=03+2x2 D、y=6-

　2、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m ，y是x的一次函数;当m ，y是x的正比例函数。

　四、拓展应用

　学校组织部分学生去井岗山体验革命历史。出行方面准备从甲、乙两家旅行社中选择一家代办，已知两家旅行社报价相同，都是每人200元。不过，甲旅行社开出的团体(15人以上)优惠办法是返还现金500元作为门票费，乙旅行社的团体优惠是，所有人员费用均打9折。设学生人数为x人，两家旅行社的收费分别为y甲、y乙，解答下列问题：(1)分别写出两家旅行社收费y(元)与学生人数x(人)之间的函数关系式;该关系式是什么函数(y甲=200x-500，y乙=180x)(2)如果学生为20人，分别计算两家旅行社收费。到哪家合算(y甲=200×20-500=3500(元);y乙=180×20=3600(元);y甲< y乙，所以到甲旅行社合算。)(3)在什么情况下，选择乙旅行社(依题意得， y甲- y乙>0，即(200x-500) -180x>0，解不等式得，x>25，所以当学生多于25人时，到乙旅行社合算。)五、课堂小结

　让学生归纳本节课学习内容：1、一次函数、正比例函数概念以及它们之间的关系。2、会根据已知信息写出一次函数的关系式。

　六、作业读一读：中国古代漏刻必做题：161页习题62第1、2、3题选做题：161页试一试

一次函数教学反思

　“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。教学完后，对新教材有了一些更深的认识。

　精心备课

　备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。

　一：教材课时安排过紧有关。初二教材的教学时间不够，教参函数第一节　　第二节二节课，第三节一次函数节，课时太少，本节要加一个复习课

　二：教学内容不好处理。

　“一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲

　环节二：概括一次函数图象的性质

　一次函数y=kx+b有下列性质：

　(1) 当k>0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____;

　(2) 当k<0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____

　(3)当b>0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

　(4)当b>0时，这时函数的图象与y轴的交点在：

　待定系数法的引入上用“d簧的长度 y(厘米)”来讲的，太难，要先讲书上的“做一做：“已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，1)和点(1，-5)，”

　三：难度不好处理：

　如我们在讲一次函数的定义时(第一课时)补充了一个例题：已知函数y= 当m取什么值时，y是x的一次函数当m取什么值是，y是x的正比例函数。”

　学生难以理解，我个人认为太难，超出了学生的理解能力。反而对一个具体的一次函数y=-2x+3中k，b是多少强调的不多。

　满意之笔

　一次函数有以下令自己较满意的地方：

　一 结合生活实例，充分调动学生学习的激情，恰当的过渡，点燃其求知的欲望。

　在本节课的引入部分采用班级里的真人真事(运用校运动会的具体事例) “在此跑步过程中涉及到哪些量”“假定每位选手各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系”“路程是时间的一次函数吗”等过渡性的问句既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。

　二大胆对教材作大幅度调整、修改

　对知识内容的完整性作了补充。

　(附一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线;一次函数图象的画法;一次函数图象与坐标轴的交点坐标。)教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。虽然在课后的习题与作业本中都有涉及到：当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，对于B班的学生需要教师对此类问题做相关示范解决。(1)求 y1 关于 x 的函数关系式及自变量x的取值范围;(2)画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：对于射线，取起点与另一个异于起点的任一点画出射线;对于线段，取线段的两个端点然后连接即可。

　不足之处

　一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手 *** 作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上。

　二、部分内容上处理出现失误：初探索一次函数y=x的画法时，我直接自己硬性规定先取这样五个点：(-2,-2), (-1,-1) , (0,0) , (1,1) , (2,2),而没有先征求学生的意见，看看他们是怎么取的，也没有解释为什么要取这五个点(理由应是：这五个点分布均匀，它们的坐标较简单，有代表性)