傅里叶展开式系数公式

傅里叶展开式系数公式是Y=D+A·sin，傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即

　　其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。

　在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

根据题意，f(x)=|x|为周期为2π的函数，而且因为f(x)=f(-x)，所以f(x)为偶函数。f(x)可展开为傅里叶级数:

f(x)=a0+ ∑(n=1→∞)(ancosnωx+ bnsinnωx)

上式中:ω=2π/2π=1，系数a0、an、bn由下式决定:

a0=(1/2π)∫(-π，π)f(x)dx

=(1/2π)∫(-π，π)|x|dx

=(1/2π)×2×∫(0，π)xdx

=π/2

an=(1/π)∫(-π，π)|x|cosnωxdx

=(2/π)∫(0，π)xcosnxdx

=(2/nπ)∫(0，π)xdsinnx

=(2/nπ)[xsinnx(0，π)-∫(0，π)sinnxdx]

=(2/nπ)[(1/n)cosnx(0，π)]

=2((-1)^n-1)/(πn^2)

bn=(1/π)∫(-π，π)|x|sinnωxdx

由于|x|sinnωx是奇函数，所以bn=0，所以:f(x)=π/2+ ∑(n=1→∞)2((-1)^n-1)/(πn^2)cosnx，

由上面可见，当n为偶数时，an=0，所以

f(x)可写作如下形式:

f(x)=π/2+ ∑(n=1→∞)(-4)/[π(2n-1)^2]cosnx，即

|x|=π/2-(4/π)∑(n=1→∞)cosnx/(2n-1)^2

傅里叶级数展开公式如下：

傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。

傅里叶展开式收敛性判别

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。

在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

以上资料参考：-傅里叶展开式