如何快速判断周期函数

三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。

周期函数怎么判断

1周期函数的判定方法

1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例：f(X)=cosx 是非周期函数。

2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。

例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数

证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2

T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

判断周期函数的方法，一般是根据定义。即对函数f（x），如果存在常数T(T≠0)，使得当x取定义域内的每一个值时，均有f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）是周期为T的周期函数。

当然，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）均为其周期。

本题中，设y=xcosx=f(x),x∈R,假设f(x)是周期为T的周期函数，则f(x)=f(x+T)=(x+T)cos(x+T)=xcos(x+T)+Tcos(x+T)=xcosx。显然，只有T=0时，对任意x才能成立。故，y=xcosx不是周期函数。

周期函数：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做 周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。

函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。

则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

楼上回答是错误的，常值函数不属于周期函数。

这个是一定的，周期与非周期相乘一定是非周期，比如正弦函数Y=SINX是周期函数，一次函数Y=X是非周期函数，两个乘一起就是是非周期函数

你可以这么理解，周期函数相当于正数，非周期相当于负数，负数乘以正数必为负数

如果两个非周期函数相乘倒是可能得到周期函数，比如Y=SINX/X，Y=X，这两个非周期相乘就是周期函数

同样函数的奇偶性也可以这样去记忆

分段函数可以是周期函数

反例，

狄利克雷函数是周期函数，并且任何有理数皆为其周期

当x为有理数时，D(x)=1；当x为无理数时，D(x)=0

证明如下

任取一个有理数q

(1)对任意的有理数x，x+q为有理数

此时x和x+q均为有理数，所以

D(x)=1=D(x+q)

(2)对于任意的无理数x，x+q为无理数

此时x和x+q均为无理数，所以

D(x)=0=D(x+q)

综合(1),(2)得

q为D(x)的周期

又q的取法是任意的

所以

狄利克雷函数是周期函数，并且任何有理数皆为其周期