请问如何求随机变量的平均值的密度函数？

我假设你说的“平均值”，指的是“样本平均值”。

这个平均值X杠的分布函数，应该和样本数目N有关。

N个独立高斯分布的求和仍然是高斯分布，平均值也是高斯分布，这个性质大家都很熟悉。

N个独立指数分布的求和是伽玛分布，具体可以去网上查下伽玛分布的性质。

下面是我的答案，应该不太会错的，用计算机验证过的。

参考资料（Gamma分布）：http://baikebaiducom/view/1476695htm

摘录：“ 设α，β是正常数，如果X的密度是：就称X是服从参数为（β，α）的Gamma分布。并记为Γ(β,α)。。。当β为正整数时，分布可看作α个独立的指数分布之和 ”。

均值函数主要用于预测系列随机程我举例用X(t)表示第t平均气温我预测呢候要用均值函数算EX(t)算t气温期望预测自相关函数主要用于物理表示t刻事件发与s刻事件发相关性我由定义E(X(s)X(t))=Cov(X(s)X(t))+EX(s)EX(t),独立同布随机程若EX（t）=0,则自相关函数二者协差

最全面的是N维分布函数或概率密度函数。最常用的是一维和二维数字特征,如均值函数、方差函数。 

随机过程依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。

随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。目前，在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。

发展情况：

1907年前后，ΑΑ马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923年N维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。

1931年，ΑΗ柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，ΑЯ辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。

1953年，JL杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。

X服从均匀分布, 即X~U(a,b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12 证明如下：设连续型随机变量X~U(a,b) 那么其分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b E(x)=∫F(x)dx=∫(a到b)(x-a)/(b-a)dx =(x2/2-a)/(b-a) |(a到b) =(b2/2-a)/(b-a)-(a2/2-a)/(b-a)=(a+b)/2 E(x2)=∫F(x2)dx=∫(a到b)(x2-a)/(b-a)dx =(x3/3-a)/(b-a) |(a到b) =(b3/3-a)/(b-a)-(a3/3-a)/(b-a)=(a2+b2+ab)/3 所以D(x)=E(x2)-E(x)2 =(a2+b2+ab)/3-(a+b)2/4 =(a2+b2-2ab)/12=(b-a)2/12 对吗

一个随机过程平稳表明该过程进入一种 稳态。

严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列 所有的统计性质 都不随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。

宽平稳又叫 二阶平稳 ，指的是序列协方差（又称“自协方差”）只跟时间区间 有关：

并且序列的均值函数（一阶矩）是常数（又称为是“一阶平稳”），序列的方差（二阶矩）是常数。例如白噪声就是宽平稳的。

宽平稳使用序列的特征统计量（各阶矩）来定义的一种平稳性，它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，只要保证序列 低阶矩平稳（二阶矩） ，就能保证序列的主要性质近似稳定。

严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，低阶矩存在严平稳能推出宽平稳成立，反之不成立。

正态过程是个重要的特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。 这是因为正态过程的概率密度由 均值函数和方差函数 完全确定，因而如果均值函数和方差函数不随时间推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

这一次的随机过程跟之前的随机过程的结果分布都一样，即一个随机过程并不会随实验次数的改变而改变（这里的一次实验为对该随机过程的一次采样）。体会一下变中存在不变，变指的是每一次的实验都是对一个随机过程的一次采样，因此每一次实验的结果都可能不同，样本是随机的；不变指的是不管做多少次实验采样得到的结果依旧服从原来的随机过程，随机过程确定。

举个例子，你和你的小伙伴们一起扔骰子，每次都一起扔，你们每次扔骰子呈现的结果分布都跟之前扔骰子的结果分布一样， 自相关函数 不随时间改变，不会随着扔多了手酸而发生改变。

随机过程平稳针对某一次具体的采样（观察信号从零时刻到T时刻的变化情况，若平稳则说明随机信号从零时刻到T时刻服从同一分布）；而各态历经研究的是对一个随机过程多次采样会有什么结果（不同次实验之间的比较，每一次实验是个时间序列）。

随机过程是对动态系统的一种描述方式，对系统状态随时间变化的一种建模，本质上也是研究信号与系统。一般地，一个随机过程只有是各态历经的才有研究的价值，如果不是各态历经说明系统存在扰动或者不确定性，需要做一些额外的假设或处理。

注意：一个过程是一个时间序列。 因此对一个随机过程采样一次，会采样出一个关于时间的序列。

严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系

（1）一个宽平稳过程不一定是严平稳过程，一个严平稳过程也不一定宽平稳过程。

例1：X(n)=sinwn，n=0,1,2，…，其中w服从U（0,2π）,随机过程{X(n),n=0,1,2，…}是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

例2：服从柯西分布的随机变量序列是严平稳随机过程，但不是宽平稳随机过程。

（2）宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则必定是宽平稳过程。但反过来，一般是不成立的。

（3）正态过程是一个重要特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。这是因为：正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

一个随机过程如果满足如下三个条件，则称其为宽平稳过程。

（1）随机过程的均值是常数，即mx（n）=mx。

（2）自相关rx（k，l）只取决于差值k-l。

（3）随机过程的均方值是有限的。

Bx(s,t)

=E[X(s)-2s][X(t)-2t]

=EX(s)X(t)-2tEX(s)-2sEX(t)+4ts

=Rx(s,t)-2s2t-2t2s+4ts

=st+t-4st-4st+4st

=t-3st 望采纳O(∩_∩)O~