系统的频率特性是什么？常用的几何表示方法有哪些?

首先分析离散时间系统在指数序列 （ ）输入下的响应。设系统是因果的，单位样值响应为 ，根据卷积公式，响应 （46-1） 上式花括号中的项为 在 处的值，设 存在，于是 （46-2）该式说明，系统在指数序列输入条件下，响应也为指数序列，其权值为 。若取 ，也即 （ ），则有 （46-3）由于输入序列的计时起点为负无限大，按式（46-3）求得的响应应该是有始输入 的稳态解。 一般为复数，可用幅度和相位表示为 （46-4）于是，输出为 （46-5）该式表明，系统引入的幅度改变因子为 ，相位改变量为 。若输入为正弦序列 （46-6）则输出 （46-7）其中在以上推导过程中，要求 必须存在，也即 的收敛域必须包含单位圆，或者说 的全部极点要在单位圆内。当输入由两个不同频率的复指数序列的线性组合构成时，由线性系统的叠加性质，其输出为相应输出的线性组合，即其中 和 可以是复数。随频率 的变化称为离散时间系统的频率响应。 称为幅度函数，而 称为相位函数。由于 为 的周期函数，周期为 ，因而 也是 的周期函数。例如，若系统函数设a为实数， ，则频率响应函数为幅度函数和相位函数分别为按以上两式绘出的幅频特性和相频特性如图46-1所示，它们均是周期的。(a)幅频响应 (b)相频响应图46-1 频率响应当 为实序列时，由z变换定义式与 成共轭关系，则有 （46-8） （46-9）即幅度函数是频率的偶对称函数，而相位函数是频率的奇对称函数，考虑到它们都是以 为周期的，故在 范围内，幅频特性以 为中心对称，相频特性以 为中心奇对称，见图46-1。因此，在绘制离散时间系统的频率特性时，只需要绘出 范围内的频响曲线。根据系统函数的极零点分布，也可以通过几何作图方法简单而直观地绘出离散系统的频率响应，这与连续系统中频率响应的几何作图类似。考虑仅有一个极点和一个零点的系统函数用 置换z，频率响应为 参看图46-2，从极点指向 点的矢量称为极点矢量，从零点指向 点的矢量称为零点矢量。当 从0到 变化时， 点沿单位圆移动，极点矢量和零点矢量随着发生变化。当 离极点比较近时，极点矢量的模 相对较小，幅度函数则较大，当 离零点比较近时，零点矢量的模 相对较小，幅度函数也相对较小。按这种方法，可粗略地绘出幅频特性。图46-2 频率响应的几何绘制例46-1 试绘制 的幅频响应和相频响应。解 ， ， 的极零点分布如图46-2所示。当 时，极点矢量的模最小，在该频率传递函数的幅度最大，可计算出随着 的增加，极点矢量的模增大，而零点矢量的模减小，因而幅度函数不断变小；在 处，极点矢量最大，零点矢量最小，因而幅度函数最小，其值为幅频响应如图46-3(a)所示。相频响应也可用几何作图的方法绘出，对每一频率，它等于零点矢量的辐角减去极点矢量的辐角，相频响应如图46-3(b)所示。(a) (b)图46-3 的频率响应例46-2 传递函数 ，试定性绘制幅频响应。解 传递函数的极点和零点分别为 ， ，如图46-4(a)所示。可求出当 从0开始增加时，如图46-4(b)所示，幅度为随着 的增加， 和 增大，而 和 减小，极点 离 点最近，它起主导地位，由于 随 增加而减小，因而幅度的总趋势增大；当 增加到图46-4(c)位置时， 非常小，幅度达到极大值；随着 的继续增加， 越来越小，当 时， 点位于零点上，故幅度为零；当 进一步增加时，如图46-4(d)所示， 和 减小，而 和 增大，零点 离 点最近，起主导地位，由于 随 增加而增大，则幅度的总趋势不断增加；在 处，可求出幅频响应如图46-5所示。 (a) (b) (c) (d)图46-4 频率响应的几何确定图46-5 幅频响应

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

p110 - p127

第二章我们就学到了，对于LTI系统的分析，将信号分解为基本信号的线性组合，这个方法对信号与系统的分析极为有用。

基本信号需要满足以下两个条件：

第二章我们用的是单位脉冲的移位来作为这个基本信号，并导出了卷积和与卷积积分。从这里开始学习傅里叶分析，基本信号选取的是复指数信号，即连续时间的 和离散时间的 信号，其中 和 都是复数。

对于LTI系统，复指数信号的重要性在于LTI系统对复指数信号的响应仍然是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即

其中 或 是复振幅因子，一般来说是复变量 或 的函数。

一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号就是系统的特征函数，幅度因子就是特征值。

考虑连续时间LTI系统具有单位冲激响应 ，当输入 ，输出可以由卷积积分求出，有，

因为积分变量为 ，所以可以把 提出到积分外，

假设积分收敛，则

其中，

有输入 ，由卷积和得到LTI系统的输出

假设求和收敛，则

其中，

对于连续时间LTI系统而言，如果输入信号可以表示为复指数的线性组合，即

那么输出一定为，

同样的，对于离散时间LTI系统，如果输入可以表示为

那么输出一定可以表示为

一般来说， 和 可以是任意复数，但傅里叶分析仅限于 和 ，也就是只考虑 和 。

对于周期信号 ，满足该式的最小正值 就是基波周期， 为基波频率。

成谐波关系的复指数信号集就是，

这些信号的基波频率都是 的倍数，而且每个信号对 都是周期的。于是一个由成谐波关系的复指数线性组合构成的信号为，

这个信号 对 来说也是周期的。上式就称为傅里叶级数表示。

上式中， 这一项就是一个常数， 和 这两项都有基波频率等于 ，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。依次有 次谐波分量。

我们一般研究实周期信号的傅里叶级数，那么就有，

对于上式中的求和，用 代替 ，于是

两式比较，发现需要 ，将 以极坐标形式写出， ，那么 可以表示为，

上式为实周期信号的傅里叶级数表示。由于复指数表示计算更为方便，我们后面都用复指数表示。

将给定的连续时间周期信号写成傅里叶级数，需要确定系数 。连续时间周期信号的傅里叶级数表示为，

左右同时乘以 ，得到

从 到 对 积分，得

交换求和与积分次序，得

对于积分 ，

综上，

因此得到，

总结一下，连续时间周期信号的傅里叶级数表达式

系数 称为 的傅里叶级数系数，或称频谱系数。

研究周期信号的有限项级数与 近似的问题，

令 为近似误差，

用一个周期内误差的能量来衡量近似误差的大小，

周期信号若想表示为傅里叶级数，必须满足两类条件，

满足这个条件并不意味着周期信号和它的傅里叶级数在每一个 值上都相等，只表示两者没有能量上的差别。

这个条件保证了每个系数 都是有限值。

对于一个不存在间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛且在每个 值上的级数都与原信号相等；

对于在一个周期内存在有限间断点的周期信号，除去那些间断点，级数与原信号相等；在间断点处，级数收敛于原信号不连续点处的平均值。

在这种情况下，两者没有能量上的差别。

吉布斯现象

表现为傅里叶级数在原信号不连续点处，傅里叶级数具有9%的超量，而且不论 取多大，这个超量不变。

一个不连续信号 的傅里叶级数的截断近似 ，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。

周期都为 的两个信号 和 ，其傅里叶级数系数分别是 和 ，即

那么就有

从这个性质可以看出，信号在时间上的移位，其傅里叶级数系数的模保持不变。

施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的左右反转。

如果 是偶函数，那么其傅里叶级数系数也是偶函数；如果 是奇函数，那么其傅里叶级数系数也是奇函数。

可以看出时域尺度变换不会导致信号的傅里叶级数系数的变化，但其傅里叶级数表示还是变化了，因为基频变了。

有两个相同周期的连续时间周期信号 和 ，相乘后信号的傅里叶级数系数为

我们可以注意到，相同周期连续时间信号相乘后，其傅里叶级数系数 可以看作 和 的离散卷积和。我会在后面学习连续时间非周期信号傅里叶变换性质中，再次看到这个性质， 时间相乘映射到频域里的卷积 。

将一个周期信号 取其复数共轭（考虑信号为复数信号），那么其傅里叶级数系数为

当 为实函数时，那么有 ，也就是说此时 。

如果 为实偶函数，那么其傅里叶级数系数为实偶函数；如果 为实奇函数，其傅里叶级数系数为纯虚奇函数。

一个周期信号的平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和。

在13节中我们定义

当输入为 时，输出

当 为一般复数时， 称为系统函数，对于连续时间信号与系统而言，在这一章和下一章中，我们只考虑 为纯虚数， 。具有 形式的系统函数[即 被看作 的函数]，该系统函数就被称为该系统的频率响应，

令 为一个周期信号，将其写作傅里叶级数表示

那么根据线性性质，输出可以得到

也就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。

这一节书中的内容也不复杂，主要是了解一下，第七章会集中介绍利用傅里叶变换方法研究滤波。用于改变频谱形状的LTI系统往往称为频率成形滤波器，近似无失真通过某些频率，而显著衰减或消除另一些频率的LTI系统称为频率选择性滤波器。

参考书中p153的电路图，一阶RC滤波器，根据选取的输出不同，如果选取电容两端的电压 为输出，系统为低通滤波器；如果选取电阻两端电压 为输出，就是高通滤波器。

假定该系统是 初始松弛 的，那么上面这个微分方程描述的就是一个LTI系统。当输入 时，输出一定为 ，将 和 代入微分方程，得到

当频率 接近0时， 趋近1；而当频率 增加时， 减小。也就是说这个系统在选取 为输出时，是一个非理想的低通滤波器。

滤波器设计中一个典型的权衡问题就是 的选取。如果我希望滤波器仅能通过很低的频率，那么 一定越大越好。但考虑其单位阶跃响应，

我们可以发现，随着 的增加，阶跃响应就需要更多的时间达到其长期稳态值1。这种在频域和时域特性之间的折中是LTI系统和滤波器分析与设计中要考虑的典型问题。

选取电阻两端电压 为输出，有

该系统的频率响应 可以求得，

滤波器的理想频率响应函数为Hd(ejω)，则其对应的单位脉冲响应为hd(n)=窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列h(n)逼hd(n)。由于hd(n)往往是无限长序列，且是非因果的，所以用窗函数。w(n)将hd(n)截断，并进行加权处理：

h(n)=hd(n)w(n)h(n)就作为实际设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数H(ejω)为H(ejω)=用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数w(n)的类型及窗口长度N的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N。

一般都选用Ⅰ型线性相位滤波器即滤波器阶数M为偶数，程序如下：

wp=;ws=;Ap=1;As=100;

dev=[Rp Rs];

[M,wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev);

M=mod(M,2)+M;

plot(omega/pi,20log10(abs(mag)));

运行程序可以得到滤波器的通阻带衰减，画出频率响应，若同阻带衰减不满足要求还可以使用滤波器的优化，一般使用的等波纹FIR进行优化。

扩展资料：

滤波器与机箱之间的一段连线会产生两种不良作用： 一个是机箱内部空间的电磁干扰会直接感应到这段线上，沿着电缆传出机箱，借助电缆辐射，使滤波器失效；另一个是外界干扰在被板上滤波器滤波之前，借助这段线产生辐射，或直接与线路板上的电路发生耦合，造成敏感度问题；

滤波阵列板、滤波连接器等面板滤波器一般都直接安装在屏蔽机箱的金属面板上。由于直接安装在金属面板上，滤波器的输入与输出之间完全隔离，接地良好，电缆上的干扰在机箱端口上被滤除，因此滤波效果相当理想。

-滤波器

系统函数可以是连续系统的也可以是离散系统的，分别对应的就是模拟域和数字域。频率响应是H（ejw）。在连续系统中，令S=ejw，就得到连续系统的频率响应，其物理意义是拉式变换在虚轴上的取值；同理，在离散系统中，令Z=ejw，就得到离散系统的频率响应，其物理意义是Z变换在单位圆上的取值。

设传递函数H(jw)=R(jw)/E(jw),

R(jw）是bai响应，E(jw)是输入。当输入是脉冲的时候，其拉普拉斯变换是1

所以脉冲函数的响应就是传递函数本身的拉斯反变换。

传递函数是指零初始条件下线性du系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。

记作zhiG（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为dao输出量和输入量的拉普拉斯变换。

传递函数是描述线性系统动态特性的回基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础答之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。

测试装置的动态特性如下：

1、传递函数：

H（S）=系统的初始条件为零时，将输出量和输入量两者的拉普拉斯变换之比。

注意：

H（S）和输入无关，即不因X（T）而异，H（S）只反映系统的特性，其值取决于固有参数。

H（S）只反映系统的响应特性而和具体的物理结构无关。同一个传递函数可能表示两个完全不同的物理系统，二者具有相似的传递函数。（一阶系统：液注温度计和RC滤波器;二阶系统：动圈式电表、振子、简单的d簧质量系统、LRC震荡电路）。

H（S）虽然和输入无关，但是它们所描述的系统对任一具体的输入X（T）都确定地给出了相应的Y（T）。

H（S）=Y（S）/X（S），其中X（S）完全由系统（包括研究对象和测试装置）的结构所决定，Y（S）则和输入点（激励）的位置、所测的变量以及测点布置情况有关。

一般的测试装置总是稳定的系统，其中分母中S的幂次总是高于分子中S的幂次。

2、环节的串联、并联：

（1）H1（S）和H2（S）为两个传递函数，串联后所组成的系统的传递函数为：

H（S）=H1（S）·H2（S）

（2）H1（S）和H2（S）为两个传递函数，并联后所组成的系统的传递函数为：

H（S）=H1（S）+H2（S）

（3）任何一个系统总可以看成是若干个一阶、二阶系统的并联（串联）。

3、频率响应函数

（1）令s=j·ω，则H（jω）称为频率响应函数、或频率响应特性。简写H（ω）。它是一个复数，具有相应的模和相角。

（2）对于稳定的常系数线性系统，若输入为一正弦函数，则稳态的输出也是与输入同一频率的正弦函数。输出的幅值和相角通常不等于输入的幅值和相角，幅频特性与相频特性分别代表输出与输入幅值的比值和相角差，他们是ω的函数。

4、脉冲响应函数

系统特性在时域可用脉冲响应函数h（t）来描述，在频域可用频率响应函数H（W）来描述，在复数域可用传递函数H（S）来描述。三者的关系一一对应。传递函数——拉扑拉丝，频率响应——傅立叶变换。