矩形脉冲可由什么信号表示

阶跃信号。任意信号f(t)都可写成无数个矩形脉冲信号叠加的形式，而矩形脉冲可以用阶跃信号表示：例如u(t)-u(t-T)就表示一个宽度为T的矩形脉冲。矩形脉冲指阶跃时间远小于顶部持续时间的平顶脉冲。

矩形脉冲电流的有效值算法是指计算矩形脉冲电流的有效值的算法。有效值是指一个信号的平均值，它可以用来衡量信号的强度。矩形脉冲电流的有效值可以用下面的公式来计算：

I_eff = I_p/√2

其中，I_p是矩形脉冲电流的峰值值。

T=-10:001:10;%定义一个时间段，步长为001

%求解f(t)

F=ones(size(T))and(T>=0,T<=1);%计算测出 大于零 小于1 的部分，取交集

plot(T,F);%搞定

首先产生矩形脉冲信号，可以使用rectpuls(t,w)函数产生一个幅值为1，以t=0为中心对称，半宽度为w/2的矩形脉冲

然后傅里叶变换是用fft()命令的。如果要得到频谱的话还要再处理一下，具体就不多说了，给个程序样例：

t=-20:20;

w=10;

y=rectpuls(t,w);%矩形脉冲信号

yy=fft(y);

N=size(y);

N=N(2);

fy=abs(fft(y))/N2;%频谱

subplot(2,1,1)

plot(y);

subplot(2,1,2)

plot(fy);

挺粗糙的，最后得到的两个图分别是方波脉冲和频谱图。。

顺带一提：

1)三角波是tripuls(t,w);

2)矩形波也可以通过ones()和zeros生成一个信号矩阵

3)具体的函数使用和参数规则请参阅help“command”

4)其实这些用simulink做，里面都有现成的模块。这样倒是很简洁，但也不容易看懂

根据上节的讨论，周期信号的谱是以基频ω0为整数倍的离散谱。对于非周期信号，可以看成是周期趋于无穷大。此时离散谱间隔 ，离散谱就变成了连续谱。在生产实践中，常用的是非周期信号。例如地震子波，就是一个沿时间轴呈指数规律衰减的正弦信号，也可称为雷克子波，它们是定义在整个时间轴上的。

1傅立叶积分和傅立叶变换

由于周期函数在满足狄氏条件时，其傅立叶级数展开式为(3-1-12)

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式中

当周期T→∞时用Δω表示频率间隔，用连续值ω表示nω0，此时频率间隔

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nω0用连续值ω表示，于是

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令

于是

F(ω)称为f(t)的连续频谱，一般是复函数，可以表示成

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式(3-2-4)中，A(ω)称为振幅谱;φ(ω)称为相位谱。(3-2-2)称为f(t)的傅立叶变换，(3-2-3)称为F(ω)的反变换。它们组成了一对傅立叶变换对。

例 求如下矩形脉冲函数的频谱。

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因为F(ω)是实数，F(ω)就是f(t)的振幅谱，即

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相位谱

也可写成

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矩形脉冲的振幅谱和相位谱见图3-2-1和图3-2-2。由图可见，矩形脉冲的频谱在ω= 处为零值。我们把从零频率到第一个零值频率之间的宽度作为信号的频带宽度。图中信号的频带宽度为π/T。显然对于矩形脉冲函数，其脉冲宽度T愈窄，其频带宽度π/T就愈宽。

2几种时间函数的频谱

根据以上讨论，频谱F(ω)一般是复数，对应的时间函数f(t)也可以是复数，

图3-2-1 矩形脉冲的振幅谱

图3-2-2 矩形脉冲的相位谱

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其复数谱的求法只要将其代入式(3-2-2)和(3-2-3)，并最终代入式(3-2-4)即可求其振幅谱和相位谱。根据地球物理勘探信号分析中常使用的信号类型，下面主要讨论实时间函数，虚时间函数，非奇非偶时间函数的频谱，并讨论其奇、偶性。特别对因果时间信号实部和虚部的相互关系也予以讨论。

(1)实时间函数的频谱

若f(t)是实时间函数，根据傅立叶变换公式(3-2-2)

频谱的实部和虚部分别为:

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显然

R(ω)=R(-ω)是ω的偶函数

X(ω)=-X(-ω)是ω的奇函数

振幅谱为

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是ω的偶函数。其相位谱为

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是ω的奇函数。综合以上两式得到:

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说明实时间函数的频谱函数是共轭对称的:实部是偶对称，虚部是奇对称的。实时间函数的这个性质启发我们，若线性时不变系统的时间特性是实时间函数时，其对应的频率响应函数H(ω)是共轭偶对称的(图3-2-3):H(ω)=H(-ω)，即

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(2)f(t)是纯虚时间函数

若f(t)是纯虚时间函数，则可以证明

则

图3-2-3 实时间函数的频谱特征

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显然有

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其振幅谱

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是ω的偶函数。其相位谱为 是ω的奇函数。

虚时间函数的振幅谱是偶对称的，相位谱是奇对称的，但相位谱符号与实时间函数的符号相反。其性质可写成

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即f(t)是虚时间函数时，其频谱函数F(ω)是共轭奇对称的(图3-2-4)。

图3-2-4 纯虚时间函数的频谱特征

(3)f(t)是实偶函数

若f(t)是实偶函数，由(3-2-2)

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由于f(t)是实偶函数，所以

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R(ω)=R(-ω)是实偶函数，所以F(ω)是实偶函数

另外根据傅立叶反变换公式(3-2-3)

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当F(ω)为实偶函数时，上式的实部

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f1(t)=f1(-t)是实偶函数，所以f(t)是实偶函数。

结论:一个实偶函数的傅立叶变换是一实偶函数;一个实偶函数的反变换也是一实偶函数。

(4)f(t)是实奇函数

根据

由于f(t)是奇函数，所以

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且

是奇函数，所以F(ω)是虚奇函数。

另外证明其反变换

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当F(ω)是虚奇函数时，代入上式后得到

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且f1(t)=-f1(-t)是实奇函数，所以f(t)也是实奇函数。

结论:一个实奇函数的傅立叶变换是一个虚奇函数;而一个虚奇函数的反变换为一个实奇函数。

(5)f(t)为非奇非偶的实时间函数

可将其分解为偶分量fe(t)和奇分量f0(t)，得到

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其反变换

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(6)信号f(t)是因果的

即

由于

所以

对于函数f(t)的偶分量为:

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对于函数f(t)的奇分量为:

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当t>0时，有f(t)=2fe(t)=2f0(t)

所以，

因此f(t)可以单独地由R(ω)或X(ω)求得，又

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而

将(3-2-23)代入(3-2-24)，得

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同样，由于

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而

将(3-2-26)代入(3-2-27)

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式(3-2-28)和(3-2-25)分别是因果时间信号傅立叶变换的实部和虚部的相互关

系。

(7)几种常用信号的频谱

1)δ(t)的频谱

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根据傅立叶变换的对偶性，得到 从而得到

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对于时移单位脉冲信号δ(t-t0)的频谱图3-2-5为

图3-2-5δ (t-t0)及其频谱

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故

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说明对于时移单位脉冲信号，其振幅谱是1，相位谱是线性相位-ωt02)直流信号的频谱

设有

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其傅立叶变换

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故有

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其频谱图见图3-2-6。

图3-2-6 直流信号及其频谱

3)正弦和余弦信号的频谱

利用

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得到

即

同样

即

其中，正弦信号及其频谱见图3-2-7，余弦信号及其频谱见图3-2-8。

图3-2-7 正弦信号及其频谱

图3-2-8 余弦信号及其频谱

4)符号函数的频谱

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一个符号函数可以看成是一个奇数指数衰减函数(图3-2-9)。

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当a→0时的极限。

图3-2-9 奇数指数函数

图3-2-10 符号函数及其频谱

已知一个奇对称指数衰减函数的频谱(图3-2-10)为

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当

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所以有

5)方波函数的频谱

设方波为

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它的频谱为

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方波及其频谱图见图3-2-11。

图3-2-11 方波及其频谱

6)三角波及其频谱

设三角波为

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它的频谱为

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三角波及其频谱图形见图3-2-12。

图3-2-12 三角波及其频谱

7)钟形波及其频谱

设钟形波为

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它的图形像钟，故称为钟形波(见图3-2-13(a))

图3-2-13 钟形波及其频谱

其频谱为

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这个积分用普通的分部积分求不出来，采用微分的方法，即先对S(f)求微商，然后再求S(f)本身，具体计算如下:

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(用分部积分法)

由此可得

将上式两边从0到f积分，左边为

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右边为

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因此有

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为了求得钟形波的频谱S(f)，必须确定S(0)，即要计算 ，为此我们先计算 ，现给出一个比较简单的计算方法

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(将变量y用变量t代替，令y=xt)

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所以

由此可知

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因此

显然钟形波的频谱仍然是钟形。