正态分布的概率密度函数是什么？

这是标准正态分布密度函数（如图）：

如果是计算概率，那就要用分布函数，但是它的分布函数是不能写成正常的解析式的。一般的计算方法就是，将标准正态分布函数的分布函数在各点的值计算出来制成表，实际计算时通过查表找概率。非标准正态分布函数可以转换成标准正态分布再算。

正态曲线

呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

不用二重积分的，可以有简单的办法的。

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其实就是均值是u，方差是t^2，百度不太好打公式，你将就看一下。

于是：

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（）

积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。

（1）求均值

对（）式两边对u求导：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)][2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)](u-x)dx=0

把(u-x)拆开，再移项：

∫x[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u∫[1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫xf(x)dx=u1=u

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差

过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对()式两边对t求导：

∫[(x-u)^2/t^3]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：

∫[(x-u)^2][1/(√2π)t]e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

正态分布密度函数公式是f(x)=exp{-(x-μ)/2σ}/[√(2π)σ]。计算时，先算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式，给定x值,即可算出f值。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 扩展资料 正态分布密度函数公式是f(x)=exp{-(x-μ)/2σ}/[√(2π)σ]。计算时，先算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式，给定x值,即可算出f值。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

标准正态分布密度函数：f(x)=(1/√2π)exp(-x^2/2)。而其中exp(-x^2/2)为e的-x^2/2次方，其定义域为（-∞，+∞），从概率密度表达式可以看出，f(x)是偶函数，即f(x)的图像关于y轴对称。

Φ(x)定义为服从标准正态分布的随机变量X的分布函数，其值为对f(x)关于x积分，从-∞积到x。从f(x)图像上看，Φ(x)的值相当于f(x)曲线一下，x轴曲线以上，区域为（-∞，x）这段的面积。由于f(x)为偶函数，且有分布函数性质Φ(+∞)=1，可以求出Φ(0)=05。

正态分布概率密度函数特性

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

怎样用excel计算正态分布概率

正态分布函数的语法是NORMDIST(x，mean，standard_dev，cumulative)cumulative为一逻辑值，如果为0则是密度函数，如果为1则是累积分布函数。如果画正态分布图，则为0。

例如均值10%，标准值为20%的正态分布：

先在A1中敲入一个变量，假定－50，选中A列，点编辑－填充－序列，选择列，等差序列，步长值10，终止值70。

然后在B1中敲入NORMDIST（A1，10，20，0），返回值为0000222，选中B1；

当鼠标在右下角变成黑十字时，下拉至B13，选中A1B13区域，点击工具栏上的图表向导－散点图，选中第一排第二个图，点下一步，默认设置，下一步，标题自己写，网格线中的勾去掉，图例中的勾去掉，点下一步，完成。

图就初步完成了。下面是微调把鼠标在图的座标轴上点右键，选 座标轴格式，在刻度中填入你想要的最小值，最大值，主要刻度单位（x轴上的数值间隔），y轴交叉于（y为0时，x多少）等等。确定后，正态分布图就大功告成了。

正态分布的概率密度函数怎么计算

算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式：

f(x) = exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]

给定x值,即可算出f值。

正态分布的概率计算，X~N(50,100),求P(X<=40)

你好！可以如图转化为标准正态分布计算，需要查表。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

求正态分布的一般计算方法

一般来说

如果独立的随机变量X_i~N(a_i,b_i^2) i=1,2,,,n

那么X_1++X_n服从正态分布N(a_1++a_n , b_1^2++b_n^2)

这一事实可以通过概率特征函数得到

如果没有学过的话，可以通过归纳法得到

就是计算两个正态分布的和，然后归纳到n的情形。

正态分布函数公式是P(x)=(2π)^(-1/2)σ^(-1)exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}。 其中 F(y)为Y的分布函数，F(x)为X的分布函数。其中μ为均数，σ为标准差。μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。

σ描述的是正态分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散曲线越扁平。σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。若随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σσ的概率分布，且其概率密度函数为f(x)=12π−−√σe−（x−μ）22σ2。

正态分布函数的特征

1、集中性，正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

2、对称性，正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

3、均匀变答动性，正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）。

5、u变换，为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

这是标准正态分布密度函数（如图）：

如果是计算概率，那就要用分布函数，但是它的分布函数是不能写成正常的解析式的。一般的计算方法就是，将标准正态分布函数的分布函数在各点的值计算出来制成表，实际计算时通过查表找概率。非标准正态分布函数可以转换成标准正态分布再算。

函数的背后

通常情况下，一个事物的影响因素都是多个，比如每个人的身高，受到多个因素的影响，比如：

1、父母的身高。

2、家里面的饮食习惯，每天吃素还是吃荤（当然喜欢吃肉），每天吃牛肉还是吃猪肉（都喜欢）。

3、每天是否运动（当然），每天做了什么运动（游泳）。

每一个因素，每天的行为，就像刚才抛硬币一样，这些因素要不对身高产生正面影响，要不对身高产生负面影响，最终让整体身高接近正态分布。

学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉，但是很难用通俗的语言解释什么是正态分布，主要原因是正态分布需要有一个前置知识中心极限定理。

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：