连续型随机变量的分布函数的问题

Proof: Let F(x),G(y) be the distribution functions of X and F(X)

then F(x)=P(X<x)∈[0,1]

so G(y)=P(F(X)<y)=1 if y>=1, 0 if y<=0

if y∈(0,1), there exists an x0, so that

F(x0)=y, considering F(x) is monotonically increasing

{x|F(x)<y}={x|x<x0}

so G(y)=P(F(X)<y)=P(X<x0)=F(x0)=F(F^-1(y))=y

so F(X)~U[0,1] QED

PS F^-1(y) is defined as inf{x|F(x)>y}

连续型随机变量的分布函数一定连续,但分布函数连续的随机变量不一定是连续型变量分布函数连续是连续型随机变量的必要不充分条件“分布函数连续”这个条件只能等价（充要条件）于“任意点的概率值为0”

对于二维连续变量的分布函数F(x，y)，一般应用其概率密度函数f(x，y)的定积分求解；对于非连续变量，需要分别累加求得与一维随机变量的求法相仿。

∴本题中，当x∈(0,∞)、y∈(0，∞)时，分布函数F(x，y)=∫(-∞，x)du∫(-∞,y)f(u，v)dv=∫(0，x)du∫(-0，y)2e^(-2u-v)dv=∫(0，x)2e^(-2u)du∫(-0，y)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]。

当x∉(0，∞)、y∉(0，∞)时，分布函数F(x,y)=∫(-∞，0)du∫(-∞，0)f(u，v)dv=0。

扩展资料：

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。

——二维随机变量

这个"连续性"的证明过程比较严谨，如下所述（你可以先准备好一张纸、一支笔，然后用笔在纸上将该证明过程写出来，这样就一目了然了，呵呵：)

问题如何“证明连续型随机变量的分布函数F(x)”是”连续函数”？

证明过程首先对于随机变量X的分布函数F(x),其形式为∫f(t)dt, 积分符号"∫"上限为x，下限为－∞，根据其形式，可判定此函数为“第一类反常积分”函数（即“无穷区间上的反常积分”函数）。因此根据“第一类反常积分”函数的定义，该函数可改写为F(x)=lim ∫f(t)dt，其中"lim"下面为“p->-∞”，积分符号"∫"的上限仍为x，下限为p。

根据分布函数F(x)的定义，设x1与x2为任意实数，可得：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

- lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为x1，下限为p；继续化简，F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

+ lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为p，下限为x1；根据定积分的性质3（对区间的可加性），原式可化简为：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

，其中"lim"下面为“p->-∞”，而积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1，可知上下限此时与变量p无关，因此可进一步将原式化简(即将"lim"去掉)，F(x2)-F(x1)= ∫f(t)dt，其中积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1。

再进一步证明分布函数F(x)是“连续函数”，根据“函数连续性”的定义，可令x2=x1+△x，则当△x->0时，可得lim [F(x2)-F(x1)] (注意：其中"lim"下面为“△x->0”，后续表达式同此)

= lim [F(x1+△x)-F(x1)] =

lim [∫f(t)dt] (其中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1) 。

又根据随机变量X的分布函数F(x)定义的条件：函数f(t)(或称“函数f(x)”)为“非负可积函数”，可由可积函数（类）的性质"可积的必要条件"(若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，则函数f(x)在[a,b]上有界),可知函数f(t)在闭区间[x1，x1+△x]上有界，因此可得0≤f(t)≤M，其中“M”为一常数。

再由定积分的性质8，可得，若f(x)在[x1，x1+△x]上可积，0≤f(t)≤M，t∈[x1,x1+△x]，M为常数，则有：0·[(x1+△x)-x1]≤ ∫f(t)dt ≤ M·[(x1+△x)-x1] (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1)；此不等式可进一步化简为：0·△x ≤ ∫f(t)dt ≤ M·△x (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限仍为x1+△x,下限仍为x1)；然后对该不等式的三个表达式同时应用"lim △x->0"，即可由"函数极限存在的准则"定理11，即“夹逼定理"，解得lim ∫f(t)dt ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”。

即解得 lim [F(x1+△x)-F(x1)] ＝ lim [∫f(t)dt] ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”，积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1。由"函数连续性"的"△x －△y" 定义（即lim △y =0, 其中"lim"下面为“△x->0”)，以及x1取值的任意性，可知分布函数F(x)是连续函数。

证毕。

注意：因为在网页上不好撰写数学符号，所以以上证明过程可在纸上写出来，这样可以一目了然。此证明过程比较完整，无删节，且每一步都标明了使用的性质或定理，供你参考。