证明连续性随机变量的分布函数连续

这个"连续性"的证明过程比较严谨，如下所述（你可以先准备好一张纸、一支笔，然后用笔在纸上将该证明过程写出来，这样就一目了然了，呵呵：)

问题如何“证明连续型随机变量的分布函数F(x)”是”连续函数”？

证明过程首先对于随机变量X的分布函数F(x),其形式为∫f(t)dt, 积分符号"∫"上限为x，下限为－∞，根据其形式，可判定此函数为“第一类反常积分”函数（即“无穷区间上的反常积分”函数）。因此根据“第一类反常积分”函数的定义，该函数可改写为F(x)=lim ∫f(t)dt，其中"lim"下面为“p->-∞”，积分符号"∫"的上限仍为x，下限为p。

根据分布函数F(x)的定义，设x1与x2为任意实数，可得：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

- lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为x1，下限为p；继续化简，F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

+ lim ∫f(t)dt，其中两个"lim"下面均为“p->-∞”，第一个积分符号"∫"的上限为x2，下限为p，第二个积分符号"∫"的上限为p，下限为x1；根据定积分的性质3（对区间的可加性），原式可化简为：F(x2)-F(x1)=lim ∫f(t)dt

，其中"lim"下面为“p->-∞”，而积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1，可知上下限此时与变量p无关，因此可进一步将原式化简(即将"lim"去掉)，F(x2)-F(x1)= ∫f(t)dt，其中积分符号"∫"的上限为x2,下限为x1。

再进一步证明分布函数F(x)是“连续函数”，根据“函数连续性”的定义，可令x2=x1+△x，则当△x->0时，可得lim [F(x2)-F(x1)] (注意：其中"lim"下面为“△x->0”，后续表达式同此)

= lim [F(x1+△x)-F(x1)] =

lim [∫f(t)dt] (其中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1) 。

又根据随机变量X的分布函数F(x)定义的条件：函数f(t)(或称“函数f(x)”)为“非负可积函数”，可由可积函数（类）的性质"可积的必要条件"(若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，则函数f(x)在[a,b]上有界),可知函数f(t)在闭区间[x1，x1+△x]上有界，因此可得0≤f(t)≤M，其中“M”为一常数。

再由定积分的性质8，可得，若f(x)在[x1，x1+△x]上可积，0≤f(t)≤M，t∈[x1,x1+△x]，M为常数，则有：0·[(x1+△x)-x1]≤ ∫f(t)dt ≤ M·[(x1+△x)-x1] (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1)；此不等式可进一步化简为：0·△x ≤ ∫f(t)dt ≤ M·△x (其中第二个表达式中积分符号"∫"的上限仍为x1+△x,下限仍为x1)；然后对该不等式的三个表达式同时应用"lim △x->0"，即可由"函数极限存在的准则"定理11，即“夹逼定理"，解得lim ∫f(t)dt ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”。

即解得 lim [F(x1+△x)-F(x1)] ＝ lim [∫f(t)dt] ＝0，其中"lim"下面为“△x->0”，积分符号"∫"的上限为x1+△x,下限为x1。由"函数连续性"的"△x －△y" 定义（即lim △y =0, 其中"lim"下面为“△x->0”)，以及x1取值的任意性，可知分布函数F(x)是连续函数。

证毕。

注意：因为在网页上不好撰写数学符号，所以以上证明过程可在纸上写出来，这样可以一目了然。此证明过程比较完整，无删节，且每一步都标明了使用的性质或定理，供你参考。

离散型随机变量的取值是有限个或可列个，其分布函数不是连续函数，其分布函数的图像是跳跃的。

离散型随机变量没有分布函数，只有概率分布，离散型是P（X=k）=pi，i=0，1，2，3。这样子表示概率分布。

连续型随机变量的分布函数是连续函数，连续性随机变量有概率分布函数，可以是分段函数。判断随机变量是离散还是连续的主要是看它们的随机变量取值是有穷还是无穷。

选B

连续型随机变量的分布函数必须满足

（1）连续，（可排除D）

（2）F（-∞）=0，F（+∞）=1   （可排除A、C）

f(x)在(-∞，+∞)可以连续或者分段求积分，那么∫f(x)dx=F(x)，积分区间为R，如果F(x)的导数无法求，就不能用某个函数f(x)表示X的概率密度函数

有不明白的可以追问

根据正则性，求出A等于二分之一：对密度函数在x的区间上求定积分！分布函数等于密度函数在区间（负无穷，x]上的定积分，求出这个定积分，答案中自然有一个二分之一！（用手机回答的，很多表达式写不出，要不我一定让你看得明明白白。主要用了正则性及分布函数与密度函数的关系，当然定积分也要掌握到一定程度！）