什么是分布函数，怎样才能更容易理解他

分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

中文名

分布函数

外文名

Cumulative Distribution Function

又称

累积分布函数

作用

描述随机变量的概率分布

定义域

全体实数

定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

 

称为X的分布函数。有时也记为

  

。

对于任意实数

  

,





 

因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间

  

上的概率。

分布函数的性质

F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为：[1]

1非降性

(1)F(x)是一个不减函数

对于任意实数

 

2有界性

(2）

 

从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即

  

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有

  

;又若将点x无限右移（即

  

)，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有

  

[2]

3右连续性

(3)

  

;

证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列

  

当

  

时,

证明

  

成立即可。 因为 ：





所以得，

 

经验分布函数的优缺点：

1、经验分布函数的优点，每个观测值都能直接可视化，这意味着不需要调整化分块数或平滑参数。也有助于直接“比较多个变量的分布情况”。

2、经验分布函数的缺点，图的外观和分布的基本属性(如其中心趋势、方差)之间的关系不是那么直观。