以概率与变量值的对应关系表达变量的分布是

函数法。

概率分布就是随机变量与对应概率关系的函数。换句话说，概率分布就是随机变量和概率的映射，所有的事件都会对应一个概率。某个随机变量的所有概率形成的概率-事件分布就是该随机变量的概率分布，会用一个函数来表达概率分布。

显然，包含了所有事件的话，分布的概率之和（连续随机变量则时概率密度函数的积分）肯定就等于1。

当随机变量为离散变量时，这个函数叫做概率质量函数，当随机变量连续时，对应的函数称为概率密度函数。在概率统计学的中有一个计算概率密度函数的方法——核密度估计（KDE）、这是一种非参数估计分布密度函数的方法。

仅通过对数据本身的特征来计算概率密度函数，不依赖任何数据分布的先验知识，这弥补了下面介绍的参数估计方法的劣势——样本分布和实际的分布可能存在巨大差异，无法通过观察或者理论推导出实际的分布。

与非参数估计对应的就是参数估计，具体的 *** 作是，先观察样本的分布情况/根据样本来源假定数据服从特定的形态，然后通过数据估计该形态下的总体参数。一般数据形态有：线性、可线性化、指数。

—— wikipedia

伯努利试验 ：

是只有两种可能结果（成功或失败）的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：

伯努利过程 ：

与 伯努利过程相关的随机变量 有：

背景引入:

在实际中的案例结果往往只有两种结果（正、反）。例如：抛硬币、明天下不下雨、买**中奖与不中奖、疾病生存还是死亡、合格与不合格等等。这样的事件便是伯努利试验。

定义：

伯努利分布（Bernoulli distribution）又名 两点分布 或 0-1分布 ，是一个 离散型概率分布 ，是最简单的离散型概率分布。若伯努利随机试验成功，则伯努利随机变量取1。若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。记其成功概率为p，失败概率为q=1-p。

概率密度函数：

期望：

方差：

背景引入：

对同一个硬币扔10次，出现3次正面朝上的概率。扔硬币的过程便是一个伯努利过程，正面朝上次数的概率就是二项分布。

定义：

Binomial Distribution是 n个独立的伯努利试验 中 成功的次数 的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。实际上，当 n = 1 时，二项分布就是 伯努利分布 。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。—— wikipedia

概率质量函数：

如果随机变量X服从参数n和p为的二项分布，我们记 。 n次试验中正好得到k次成功的概率 由概率质量函数给出：

二项分布是一个 概率分布族 ，随着试验次数n和成功概率p的不同而不同，且它 与正态分布关系密切 。

期望：

方差：

在n次伯努利试验中，试验k次才得到 第一次成功的概率 ，也就是说： 前k-1次都失败 ，第k次成功的概率。记为 。

概率质量函数：

期望：

方差：

描述了由有限个物体中 抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件 的个数（ 不放回抽取 ）。例如在有N个样本，其中K个是不及格，N-K个是及格的，超几何分布描述了在该N个样本中抽出n个，其中k个是不及格的概率。记为 。

概率质量函数：

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泊松分布适合于描述 单位时间 或 单位空间 内随机事件发生的 次数 的概率分布。记为 。

概率质量函数：

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期望：

方差：

在二项分布的伯努利试验中，如果 试验次数n很大 ，二项分布的 概率p很小 ，且乘积 λ= np 比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。

p（a-b）表示a发生，而b不发生，因此

p（a-b）=p（a）-p（ab）

任何情况下

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

只有B是A的子集时

P(A-B)=P(A∩B)

扩展资料

按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：

离散型

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

连续型

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

一般而言，概率密度函数（Probability Distribution Function）是针对连续型随机变量的，相应针对离散型随机变量有概率质量函数（Probability Mass Function）。

概率质量函数即随机变量在各个可能值上对应的概率，你可以把它想象成一个直方图。

设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散型随机变量。

　　设X1，X2，…是随机变量X的所有可能取值，对每个取值Xi，X = xi是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性(概率)。

　　定义1 设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1，2，…)，

　　P(X = xi) = Pi,i = 1,2,

　　称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。

　　常用表格形式来表示X的概率分布：

X x1 x2 xn

Pi p1 p2 pn

　　由概率的定义，Pi(i = 1,2,)必然满足：

　　(1)，i=1, 2, …；

　　(2)

∑ Pi = 1

i

　　例1 某篮球运动员投中篮圈的概率是09，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布．[2]

　　解 X可取0，1，2为值，记Ai={第i次投中篮圈}，i=1，2，则P(A1) = P(A2) = 09

　　

　　

　　，

　　，

　　且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1

于是，X的概率分布可表示为

X 0 1 2

P_i 001 018 081

　　关于分布律的说明

　　若已知一个离散型随机变量X的概率分布：

X x_1 x_2 x_n

P_i p_1 p_2 p_n

　　则可以求得X所生成的任何事件的概率，特别地，

　　，

　　例如，设X的概率分布由例1给出，则

　　P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=00l+018=019

　　P{}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

离散型随机变量是概率论中的一个重要概念。它是指在一定范围内取值的不连续的随机变量，其取值只能是某些确定的数值。

扩展资料：

1、离散型随机变量的定义

离散型随机变量是指在一个取值区间内，可能会取到其中某些整数取值的随机变量。例如，考虑掷一枚骰子，那么这个随机变量的取值只能是1、2、3、4、5、6等六个整数。

2、离散型随机变量的概率质量函数

对于一个离散型随机变量X，其概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）可以表示为P(X=k)，其中k是变量X可能取的整数值。这个函数表示了在某一个特定取值下，随机变量X出现的概率。

3、离散型随机变量的期望与方差

对于一个离散型随机变量X，其期望值E(X)和方差Var(X)可以分别表示为：

E(X)=∑kPkk，其中Pk为X取到k时的概率；

Var(X)=E[(X-E(X))^2]=∑k[Pk(k-E(X))^2]，其中E(X)为X的期望。

通过计算期望和方差，可以更好地描述离散型随机变量的性质，包括均值、分布等。

4、离散型随机变量的分布：

离散型随机变量的常见分布包括：

伯努利分布：只有两个取值的离散型随机变量；

二项分布：描述多次独立重复实验中成功次数的概率分布；

泊松分布：描述单位时间或空间内随机事件发生的次数的分布；

几何分布：描述多次独立重复实验中首次成功的概率分布。

5、离散型随机变量在实际应用中的应用

离散型随机变量在实际应用中有广泛的应用，如在金融、物流、医学、工程等领域。例如，在物流领域中，可以利用离散型随机变量进行商品库存管理，以便更好地控制存货水平和缓解上下游之间的供需压力。

6、结语

离散型随机变量是概率论中的基本概念之一，主要关注随机变量在某个范围内取某些确定的值。我们需要尽可能深入地理解离散型随机变量的性质和特点，以更好地应用到实际问题中去。