二维连续型随机变量的概率密度和其分布函数的关系

连续型随机变量的分布描述的是随机变量x落入某个区间的概率，像密度的描述一样。打个比方，好比是你手里握着一把沙子撒到一个面积为1区域里面，设沙子总重量为1，落到区域里面的时候有的地方会厚一些有的地方会薄一些，那么你算某个小区域里的沙子的密度就是这个区域里沙子的重量/区域面积，相当于沙子落到这个区间的概率值。

二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为f（x，y）＝6x，0＜x＜y＜1 0其他，EXEY为0375。

E（x）=∫ (+∞,-∞)x (+∞,-∞)f（x，y）dydx

=   ∫(1,0)x( ∫(1,x)6xdy)dx

= 6x∫(1,0)x(1-x)dx

=05

E（Y）

=∫ (+∞,-∞)y (+∞,-∞)f（x，y）dxdy

=   ∫(1,0)y( ∫(y,0)6xdx)dy

= 6x∫(1,0)y(1-y)dy

=075

因此，E（x）E（Y）=05075=0375。

扩展资料：

二维随机变量( X,Y)的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质是不够的，还需将（X，Y）作为一个整体来研究。

如果存在非负可积二元函数f(x,y)，使得随机向量r=r(X，Y) 的分布函数F(x，y)可表示为f(x,y)的变上限积分形式，则随机点(X，Y)落在某平面域D上的概率是密度函数在区域上的二重积分。在f(x,y)的连续点处，存在变上限值。

P（X+Y≤1）

=P(X≤(y-1)/2)

=∫[x=-∞->(y-1)/2]f(x)dx

=0（(y-1)/2≤0）或∫[x=0->(y-1)/2]6x(1-x)dx（0<(y-1)/2≤1）或1（(y-1)/2>1）

=0（y≤1）或3(y-1)²/4-2(y-1)³/8（1<y≤3）或1（y>3）

=0（y≤1）或(-y^3+6y^2-9y+4)/4（1<y≤3）或1（y>3）。

扩展资料

现实中的许多问题，用一个随机变量有时是难于处理的。例如描述地理位置须有经度、纬度;描述一个射手命中靶面的位置要 由其坐标(X, Y)来刻画。如果 X和 Y都是随机变量，则称 (X, Y)为一个二维随机变量 (或向量)。

分布函数就是说这个概率的分布是什么样子的，就像一个y=F(x)函数，知道x，那么就可以知道y为多少了。