二次函数应用题的几种基本解法

一般 步骤是：

1设定实际问题中的变量

2建立变量与变量之间的函数关系式

3确定自变量的取值范围，保证自变量有实际意义

4解答函数问题，最大值，最小值什么的

5写出答案

一般解法：

1待定系数法

题设明确给出两个变量之间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

2分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题目意思，正确写出数量关系式。

3建模型

要求自主构造二次函数，利用二次函数的图像性质等解决实际问题，这类题目有一定难度。

二次函数应用题从题设给定形式和解法上看，常见的有以下三类：

一、分析数量关系型

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

此类二次函数应用题解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？

（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

析解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得（30≤x≤70）。

（2）。顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

二、待定系数法型

题设明确给出两个变量间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

此类二次函数应用题解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元）

0

1

2

…

y

1

15

18

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

析解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为

（2）由题意得S=10y(3-2)-x

（3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x≤25，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

三、构建数学模型型

要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。

这类二次函数应用题问题建模要求高，有一定难度。 例3某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量 ,y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+425

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大最大值是多少

(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于575万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围

在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元

解:(1)由题意,设y=kx+b,图象过点(70,5),(90,3),

∴解得∴y=x+12

(2)由题意,得w=y(x-40)-z=y(x-40)-(10y+425)=(x+12)(x-10)-10(x+12)-425

=-01x2+17x-6425=(x-85)2+80

当85元时,年获利的最大值为80万元

(3)令w=575,得-01x2+17x-6425=572

整理,得x2-170x+7000=0

解得x1=70,x2=100

由图象可知,要使年获利不低于575万元,销售单价应在70元到100元之间又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于575万元,销售单价应定为70元

三角函数问题解法六种

　三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：

一． 平方法

观察问题的条件和所求结论，是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式，可考虑将代数和取平方．这样能有机地将和差与乘积结合起来，从而顺利求解．

二． 降幂法

涉及高次三角函数化简问题，常通过平方关系，倍角关系降幂得到解答

三． 凑角法

还有一些求值问题，通过观察角之间的关系，恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起来，能找出解答途径．

四． 换元法

解三角函数中的复合函数问题时，抓住特点巧妙换元可将复杂问题简单化

五． 讨论法

当涉及正负取舍或含参等的三角函数问题，往往要讨论作取舍．

六． 图象法

在解决三角函数问题时，有时要借助图象才能更好地解决相应问题．

已知f（x）满足f(x)=2f(1/x)+x,求f(x)的解析式

你把1/x当成x，代入进去得到f(1/x)=2f(x)+1/x

把f(1/x)=2f(x)+1/x 代入f(x)=2f(1/x)+x

得f(x)=2（2f(x)+1/x）+x

移项就得到答案了

．求一次函数解析式的方法

　　求函数解析式的方法主要有三种：

　　一是由已知函数推导或推证

　　二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

　　三是用待定系数法求函数解析式。

　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

　　（1）利用一次函数的定义

　　构造方程组。

　　（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标（如例6），即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向（如例3）

　　（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程（如例4、例5）。

　　（4）利用题目已知条件直接构造方程（如例6）

　例6．已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

　　分析： 画草图如下：则OA=13， =30，

　　则列方程求出点A的坐标即可。

　　解法1：设图象上一点A（x, y）满足

　　解得： ； ； ；

　　代入y=kx (k<0)得k=- , k=-

　　∴ y=- x或y=- x。

　　解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

　　由（2）得 =- ,

　　代入（1），得(1+ )·(- )=

　　整理，得60 +169k+60=0

　　解得 k=- 或k=-

　　∴ y=- x或y=- x

　　说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时

三角函数基础知识

适合初学的朋友

锐角三角函数

内容简介

本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器 *** 作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA•表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值求出相应的锐角．

2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重点与难点

1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、•邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．

一共有七种，介绍两种。换元法，已知f(x-1)=4xx+3x+2,求f(x)解：设t=x-i,则x=t+1,则f(t)=(t+1)(t+1)+3(t+1)+2=tt+5t+6,f(x)=xx+5x+6;注意有整体换元（y=根号1-正弦x平方，则用t替换根号1-正弦x平方，按上述步骤求解即可， 方程组法，将3f(x)+2f(1/x)=4x与3f(1/x)+2f(x)=4/x联合组成方程组，按二元一次方程的解法即可的出结果！！ 已知f(x)的定义域是非零实数

由于 3f(x)+2f(1/x)=4x

分别取 x=t,x=1/t

得 3f(t)+2f(1/t)=4t

3f(1/t)+2f(t)=4/t

联立解得

f(t)=4/5 （3t-2/t）

即

f(x)=4/5 （3x-2/x）