正态分布的分布函数是什么？

一般正态分布的分布函数F(x)：

F(x)=P(X⩽x)=1√2πσ∫x−∞e−（t−μ）22σ2dt。

标准正态分布的分布函数Φ（x)：

Φ（x)=P(X⩽x)=1√2π∫x−∞e−t22dt。

正态分布具体介绍：

正态分布概率计算公式：F(x)=Φ［（x-μ）／σ］，正态分布也称“常态分布”，又名高斯分布，正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ＾2的正态分布，记为N(μ，σ＾2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ＝0，σ＝1时的正态分布是标准正态分布。

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：

标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数的作用

1、函数的作用是把重复的文件写成一个通用文本供给我们使用，也可以把剩下的文件代码独立放在一起。

2、我们工作时把工具箱准备好，然后下次用的时候直接带着使用就好了，这里的工具指的就是函数。

3、变量比函数。

定义函数的两种形式

1、第一种无掺函数

def self_max():

x, y = 10, 20

if x > y:

print(x)

else:

print(y)

self_max()

2、第二种有掺函数 (有多少掺数必须写入多少掺数。)

def self_max(x, y):

if x > y:

print(x)

else:

print(y)

self_max(100,500)

如下：

t = x/2^(1/2), t^2 = x^2/2，

dt = dx/2^(1/2)，

t: -无穷-〉正无穷， x: -无穷-〉正无穷，

S_{ t:-无穷-〉正无穷}e^(-t^2)dt= 

= S_{x:-无穷-〉正无穷}2^(-1/2)e^(-x^2/2)dx =

= (PI)^(1/2)S_{ x:-无穷-〉正无穷}(2PI)^(-1/2)e^(-x^2/x)dx =

= (PI)^(1/2)1

= (PI)^(1/2)。

PI = 31415926。

介绍

标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-196～+196范围内曲线下的面积等于09500，在-258～+258范围内曲线下面积为09900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

1标准正态分布（英语：standardnormaldistribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

2期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

3因为X～N(μ,σ^2),Y=(X-μ)/σ，所以P(x)=(2π)^(-1/2)σ^(-1)exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}。

4其中F(y)为Y的分布函数，F(x)为X的分布函数。