如何理解统计中的特征函数

引入特征函数是非常自然的事情：

在实际应用中，逐个测量事件空间中的各事件发生的概率（或者分布函数）是极端困难的，相反，对大多数分布而言，矩（平均值、方差以及各种高阶矩）往往是容易被测量的；

在问题变得复杂之后，再来计算矩（例如均值、方差等等）的时候，如果我们知道分布函数，那么我们要做的是求和与积分，而如果我们知道特征函数，在计算矩的时候，我们要做的只是微分，而通常，求导会比直接积分更容易，而且可以针对各阶矩有更统一的形式。

而因为考虑到这两个因素，再加上 Fourier 空间跟实空间可以一一对应起来，所以大家就更喜欢特征函数了。

特征函数之所以叫特征，在这里开个脑洞，可能是

因为特征和矩母函数在数学上都是唯一的，但真的

数值计算的时候矩母函数可能会有数值很接近但是

函数大相径庭的情况出现，特征函数对于数值运算

却是足够好的吧。

对了。。对于所有分布函数，也就是所谓随机变量的

xxx，特征函数必然是存在且唯一确定cdf的。。是不是

有点特征的味道在了

特征值方程是Ax=λx，物理上A是一个算符，可以用矩阵表示，x表示物体某一个状态。

好比一个系统A，给它加一个输入x，得到输出y=Ax。

你会发现如果x是系统A的特征向量的话，有y=λx,也就是输入x通过系统A，它的形状没有任何改变，只是改变了幅度（λ），也可以认为系统事实上没有改变物体的状态，因为幅度改变可以通过归一化 *** 作消去。

如果x不是A的特征向量的话，那么输出y就和原来的状态不同。

比如自由空间中电磁波的本征解（本征向量）是平面波，球面波柱面波等等其他所有不是平面波的电磁波，在经过无穷长的时间后，都会变成平面波。而平面波可以在自由空间中永远传输而不改变形状。

向量空间中的向量可以是任何事物，不仅仅是高中学的带有长度的箭头

比如说函数可以看做向量，粒子的状态可以看作向量。

我们之所以用向量来代表粒子的状态（位置，动量，自旋等），是因为量子力学本身符合线性空间的性质为什么量子力学本身具有线性空间的性质？由于量子力学的基本方程——薛定谔方程（一个二阶偏微分方程）本身具有线性性质导致的

薛定谔方程描述的即是粒子的状态。因而把粒子的状态看作一个向量，我们便可以用非常方便的线性代数工具去描述和求解他们

至于特征向量，只不过是一个测量可以得到的可能的结果状态罢了。