已知y服从正态分布,方差D（y)=a, 期望E(y)=b, 怎么求D（y^2）?

Y服从正态分布，

则 [(Y-b)/(a^05)]^2服从自由度为1的卡方分布（就是长得像x的希腊字母，同时这个也是tuo 分布，

tuo(1/2,2) 是卡方分布的特例) ，所以

D([(Y-b)/(a^05)]^2)=2

然后可以展开算D(Y^2) 。如果你还不会，我再算下去。

注：如果X服从N(0,1), X^2服从卡方分布（或者tuo 分布），书上有结论，你可以去找到证明。

南开大学好像今年没有发参考书目，又考试大纲可以参考一下：

《统计学》考试大纲

一、随机事件与概率

随机事件与样本空间、事件的关系与运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、事件的独立性、独立重复试验

二、随机变量及其分布

随机变量及其分布、随机变量的数学期望、随机变量的方差与标准差、常见离散分布、常见连续分布、随机变量函数的分布、分布的K阶矩、变异系数、分位数、中位数、其他特征数

三、多维随机变量及其分布

多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望

四、大数定律与中心极限定理

伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、林德伯格-莱维中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理、随机变量序列的依概率收敛、随机变量序列的按分布收敛、弱收敛

五、统计量及其分布

总体、个体、简单随机样本、经验分布函数、统计量、样本均值、样本方差与样本标准差、样本矩、次序统计量及其分布、样本分位数与样本中位数、五数概括与箱线图、χ2分布、F分布、t分布、充分统计量

六、参数估计

点估计、矩估计、最大似然估计、点估计的评价标准、最小方差无偏估计、区间估计的概念、单个正态总体参数的置信区间、两个正态总体下的置信区间

七、假设检验

显著性检验、假设检验的两类错误、单个及两个正态总体参数的假设检验、其他分布参数的假设检验、分布拟合检验

��际7���H�c8�`��度函数；随机变量的独立性

6、随机变量的数字特征：数学期望、方差、相关系数、协方差、矩、母函数、特征函数

7、大数定律、中心极限定理、随机变量列的收敛性（依概率收敛、以概率1收敛或称几乎处处收敛、依分布收敛）

（二）数理统计

1、抽样分布（c2分布、t-分布、F-分布）、统计量

2、点估计：矩估计、极大似然估计、Bayes 估计

3、区间估计：置信区间、一个正态总体的期望的置信区间、两个正态总体期望之差的置信区间（方差已知）

4、假设检验：假设检验的概念、检验的两类错误、单个及两个正态总体的假设检验

5、回归分析：最小二乘法及其相应估计

南开大学数学学院数理经济硕士研究生入学考试科目大纲

概率论与数理统计

一、考试方法和考试时间

概率论与数理统计考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中概率论占2/3即100分，数理统计占1/3即50分。

二、考试内容大纲

（一） 概率论

1、概率的概念、古典概型、概率空间

2、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式；事件独立性

3、离散型随机变量、离散随机变量的分布：二项分布、几何分布、泊松分布、超几何分布

4、连续型随机变量概念、密度函数、分布函数；正态分布、指数分布、均匀分布、t-分布、

c2分布

5、随机向量及其分布、联合分布函数、密度函数；边际分布、边际密度函数；随机变量的独立性

6、随机变量的数字特征：数学期望、方差、相关系数、协方差、矩、母函数、特征函数

7、大数定律、中心极限定理、随机变量列的收敛性（依概率收敛、以概率1收敛或称几乎处处收敛、依分布收敛）

（二）数理统计

1、抽样分布（c2分布、t-分布、F-分布）、统计量

2、点估计：矩估计、极大似然估计、Bayes 估计

3、区间估计：置信区间、一个正态总体的期望的置信区间、两个正态总体期望之差的置信区间（方差已知）

4、假设检验：假设检验的概念、检验的两类错误、单个及两个正态总体的假设检验

5、回归分析：最小二乘法及其相应估计

这个属于几何分布

q=08

第N次射击才命中的概率为(02）^(N-1)08

均值和方差需要用到高数中的无穷级数来解决

这里我只告诉你答案 E(n) = 1/p, var(n) = (1-p)/p^2;

1 卡方分布的定义

设随机变量  ，则随机变量  ，且  的概率密度函数为：

证明：

积分区域   是一个球形区域，切换到球坐标下，可得：

  ，  是一个与   无关的常数

根据归一化，

这就证明了卡方分布的概率密度函数。

2 卡方分布的可加性

设独立的随机变量  ，则 

证明：

这就证明了   符合自由度为   的卡方分布。这可以推广到多个随机变量的情况：

若相互独立的随机变量  ，则 

3 卡方分布的数字特征

设随机变量  ，则   的矩母函数为 

证明：

由卡方分布的矩母函数，可得出   的   阶矩：

由此可得卡方分布得期望为  ，方差为 

设随机变量  ，则   的期望为 

证明：

  ，做变量替换 

  ，此式当   时成立

同理，可以证明  ，当   时成立。

4 卡方分布的分解

正态随机变量：设随机变量  ，则 

证明：

由于   的概率密度函数为：

即随机变量  ，根据卡方分布的可加性可得 

这就说明了自由度为   的卡方分布可以分解为   个独立的标准正态分布随机变量的平方和，这也是卡方分布的定义。

指数随机变量：设随机变量  ，则 

证明：

由于   的概率密度函数为：

即随机变量  ，根据卡方分布的可加性可得 

这就说明了   个独立的指数分布随机变量的和的  倍符合自由度为  的卡方分布。

5 正态分布的样本方差

设随机变量  ，样本均值  ，样本方差  ，则有：

  ，且   与   独立。

证明：

可以找到一个   阶正交矩阵  ，  中第一行的元素都是  ，对随机向量  进行正交变换：

随机向量  ，则有逆变换  ，此正交变换具有以下3个性质：

1 向量的模不变，即：  ；

2 逆变换的雅可比行列式为  ，即：  ；

3  ；

随机向量  的联合分布密度函数为：

从随机向量   的联合分布密度函数可以得出以下结论：

1  ；

2  ；

3  相互独立；

下面对命题中的结论进行证明：

可以看到：

1  是   的函数，  是   的函数，所以   与   相互独立；

2   是   个标准正态随机变量的平方和，所以服从自由度为   的卡方分布；

二、t分布

1 t 分布的定义

设随机变量  ，  相互独立，则随机变量  ，且   的概率密度函数为：

  ，其中   为 t 分布的自由度。

证明：

设   为标准正态分布的概率密度函数，   为卡方分布的概率密度函数，那么随机变量   的概率密度函数为：

由随机变量商的概率密度函数公式，可得随机变量   的概率密度函数为：

 做变量替换  ，则有：

2 t 分布的数字特征

由于 t 分布的概率密度函数是关于原点对称的偶函数，那么它的期望为 0， 但仅限于自由度大于1的情况。

设随机变量 ，那么下面的绝对值积分为：

由于此积分发散，所以当   分布的自由度为 1 时期望不存在。

根据 t 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望，可得 t 分布的方差就是它的二阶矩，有：

即自由度为   的 t 分布的方差为  ，仅当   时成立。

三、F 分布

1 F 分布的定义

设随机变量  ， 相互独立，则随机变量  ，且   的概率密度函数为：

  ，其中   为 F 分布的自由度。

证明：

设   分别为自由度为   的   分布的概率密度函数，则随机变量  的概率密度函数分别为：

由随机变量商的概率密度函数公式，可得随机变量  的概率密度函数为：

做变量替换  ，则有：

2 F 分布的数字特征

根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的期望，可以直接计算 F 分布的期望为：

此结果仅在分母的自由度   时成立，当   时，F 分布的期望不存在。（如何证明呢？）

根据 F 分布的定义以及卡方分布的倒数的平方的期望，可以得到 F 分布的二阶矩为：

那么 F 分布的方差为：

此结果仅在分母的自由度   时成立。

设   为自由度为   的 F 分布的 上分位点，则有：

证明：

根据 F 分布的定义，有：

。。。