大佬们帮忙(^-^)求幂级数的和函数

解题过程如下：

设f(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)

记g(x)=f(x)/x=∑nx^(n-1)

积分得：G(x)=∑x^n=C+x/(1-x)

求导得：g(x)=1/(1-x)²

故f(x)=xg(x)=x/(1-x)²

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

lny=g(x)·lnf(x)

两边同时对x求导，

1/y·y'=g'(x)·lnf(x)+g(x)·[lnf(x)]'

=g'(x)·lnf(x)+g(x)·1/f(x)·f'(x)

∴y'=y·[g'(x)·lnf(x)+g(x)·f'(x)/f(x)]

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+2)/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。

又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1。

当x=±1时，∑(n+1)x^n均发散。∴其收敛区间为，丨x丨<1。

设S(x)=∑x^(n+1)，两边由S(x)对x求导，有原式=S'(x)= ∑(n+1)x^n。

当|x|<1时，S(x)=x/(1-x)。∴S'(x)=[x/(1-x)]'=1/(1-x)^2。

∴原式=1/(1-x)^2。供参考。