高中数学

高中数学必修1各章的知识点总结

章收集

函数的概念，相关概念的集合

集合的含义：某些指定的汇集成一个集合，其中每个对象被称为元素集合中的对象。

2，集合中的元素的三个特征：

元素的不确定性; 2个元素的互异性恋者; 3。无序的元素

说明：（1）对于一个给定集合中的元素是确定任何一个对象或这不是给定的元素的集合。

（2）在任何给定的任意两个元素是不同的对象，被归类为同一个对象集合中只能算作一个元素。

（3）集合中的元素是平等的，没有秩序，从而确定两集是一样的，只是比较它们是否有相同的元素，不需要检查的顺序相同的。

（4）三大特点的集合的元素的集合本身具有确定性和全面。

3，集合{} {学校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

1。所述的收集，使用以拉丁字母为：A = {学校篮球运动员}，B = {1，2，3，4，5}

2。表示集合：在法律上的枚举法。

注意啊：常见的数集的符号：

非负整数（即自然数集），表示正整数：N

集N N +的一套集Q实数的整数有理数的直径

“属于”概念的集合元素通常用小写拉丁字母表示，如元素的集合，说一个属于一套，由∈A表示，与此相反，一个不属于集合A记的吗？列举法：

枚举集合中的元素，然后用一个大括号。

描述法：描述集合中的元素的公共属性，书面的大括号，方法。条件确定某些对象是否属于这个集合。

①语言来形容的方法：例如：{不是一个直角三角形三角形}

（2）数学公式法：例：不等式X-3> 2解决方案集合{x？ R | X-3> 2}或{X | X-3> 2}

收集分类：

1。有限集，其中包含了一组有限元

2。无限集包含无限数量的集合的元素

3。空集不包含任何元素的集合的情况下：{X | x2 = -5}

收集

1之间的基本关系。 “包含”的关系 - 的一个子集

注意：（1）A是B的一部分;（2）A和B是相同的集合，有两种可能性。

相反：集合A不包含在集合B，或B的集合不包含集合A，记为AB或BA

2。 “平等”的关系（5≥5和5≤5，5 = 5）

例如：设A = {X | X2-1 = 0} B = {-1,1}相同的元素 />

结论：对于两个集合A和B，如果任何一个组的元素A是B的集合元素，同时，任何一种元素的集合B是一个集合的元素A，我们说，一个集合A等于集合B，即：A = B

①任何一组是它自己的子集。友邦保险

②真子集：AIB，和A1 B，则集合A是集合B的真子集，记为AB（或BA）

③如果AIB BIC ，然后AIC

④如果AIB同时BIA，然后一个= B

3不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空真子集。

收集计算。的的路口定义：通常情况下，所有的集合组成，属于A，属于B的元素，称为A，B的交集。

A∩B（发音为“一横B”），即A∩B = {X | X∈A和X∈B}。

2，定义的设定：通常情况下，属于集合的所有元素组成的集合A，或属于B组，A，B的设置。表示为：A∪B（读作“A和B”），即，A∪B = {X | X∈A，或x∈B}。

3的交集和并集的性质：A∩A = A，A∩φ=φ，A∩B = B∩A，A∪A = A，

/> A∪φ= A，A∪B = B∪A

（1）补全集补：设S是一组，A，S的一个子集S（即），不属于一个组成的集合的元素，称为S的子集A（我设置）

词汇：CSA即补CSA = {X | X？ S和X吗？ A}

环孢素

一个

（2）全集：如果集合S中的所有元素，我们要学习的集合，这个集合可以被看作是一个完整的工程。通常用U表示。

（3）性质：⑴CU（C UA）= A⑵（C UA）∩A =Φ⑶（CUA）∪A = U

函数的概念

1。的函数的概念：设A，B都是非空数集，如果是这样，在集合B中有一个唯一的号码，任何一组确定的一个数字的A的x，函数f（x），并在按照一个确定的对应关系F IT对应，然后说F：A→B的函数从集合B记为A设置：Y = F（X），X∈A其中，x是独立变量，称为域的定义功能在阿的x的范围内;称为的y值对应的值的函数值x的函数的一组值？{F（x）的| X∈A}称为的值的功能域。

注意：如果只给出解析式= F（X），它没有指定的域，该域定义的函数必须作出有意义的实数的公式集合，3个功能域和值的范围要被写入一个集合或范围内的形式。

自定义字段添加到一个有意义的实数x的集合称为函数的定义域的功能，找到函数定义域的主要依据不等式：（1）分数的分母不为零，（2）次根甚至开方数不小于零的，（3）必须是真正的数目大于零的数目（4）的指数，对数的底必须大于零和不等于1（5）如果该函数通过的一些基本功能，四个运算组合，那么，它的定义域是由所指的x的值的每一个的一部分（6）索引集合零底部不能等于0（6）的实际问题中的函数定义域还要保证实际问题有意义的。

（注意：找到的不等式的解集是函数的域）。

构成函数的三要素：域名，对应关系，范围

再次注：（1）构成的三要素函数的定义域的对应关系和范围。由于该范围的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和相应的关系是完全一致的，即所述的这两个功能是相同的（或相同的功能），（2 ）等于两个函数，当且仅当他们定义域和相应的关系是完全一样的，和所述自变量和函数的字母的值无关。相同的功能：①表达的判断是一致的;②域一致的（也有两点必须）

（见课本21例）

值的范围？补充

（1）范围内的功能依赖于域和相应的法律，不管用什么方法解决一系列的值？的功能，应首先考虑域。 （2）应该是熟悉的功能，一次，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数值的范围，它是解决复杂的功能范围。

函数图像知识总结

（1）定义：在直角坐标系中，函数y = F（X）（X∈A）x为横坐标，函数值Y为纵坐标的点P（的x，y）的集合C，称为函数为y = f（x）的，（的x∈A）的图像。

C在每个点上的坐标（的x，y）满足的函数关系为y = f（x）的，反过来，为了满足每个设置实数的y的有序= F （x）在x，y坐标的点（x，y），C即简称为C = {P（X，Y）| Y = F（X），X∈A}

图。一般如C，是光滑连续的曲线（或直线），也可以由任何平行于Y轴的线性最1的交叉点的数量的曲线或离散点组成。

（2）绘画

描点法：根据函数解析式，并定义域，求x，并列出了一些相应的y值在（x，y）的坐标系中的坐标划定的对应点P（的x，y），并最后用光滑的曲线连接这些点。

B，图像变换方法（请参阅强制三角形有三个功能）

常用的变换方法，即平移变换，伸缩变换，对称变换

（3）作用：

1，直观的看到大自然的功能;利用数形结合解决问题的思路。提高解决问题的速度。

发现错误，解决问题。

4。间隔时间去理解这个概念的间隔

（1）分类：开区间，闭区间，半开放，半封闭的区间（2）无穷区间;（3）的间隔数轴代表。

5。什么叫映射

在一般情况下，让A，B是两个非空集，如果一个确定相应的规则f元素x，任何一组在B组只需要确定相应的元素y，则相应的电话号码：AB是从集合的映射B记为“F：A设置AB

一组映射A到B，∈A，B∈B和元素A和元素B对应元素b被称为元素，称为元素b类似元素的原像

说明：该函数是一个特殊的映射，这种映射是一个特殊的相应①集A， B和确定相应的规则f②相应的法律“定向”，它强调的是相应的一组A到集合B的对应关系，从B到A，它一般是不同的;③对于映射F：A→B，应满足： （I）中的每个元素集合中的A，B组有等，并且作为唯一的;甲，（Ⅱ）的不同的元素，作为对应于集合B的集合可以是相同的（III）并不需要收集中的每个元素的集合B的一个原始图像。

常用功能的法律和各自的优势：

1函数图像可以是连续的曲线，也可以是一个直线，折线，离散的点，注意观察来判断一个图是否是函数图像的基础上，分析方法：您必须指定域的功能; 3图像的方法：描点法映射要注意：确定域定义的函数化简的函数的解析式的功能特性; 4列表法：选定的独立变量应具有代表性，应该能够反映域的特点。

</注：分析方法计算值的函数。列表方法：容易找到的函数值。图像法：容易测量出的函数值

补充：分段分段函数功能（参见课本P24-25）

不同的解析表达式在不同的域类型的功能。求函数值必须是独立的变量代入相应的表达式在不同的范围。在几个不同的方程，解析公式不能写，写几个不同的函数值的表达？和左括号括起来，并分别注明各部分的参数值。功能是一个函数（1） ，不要错误地认为，这是多种功能;（2）子域的功能段落域，其范围设置为段值范围设定。

补充：复合函数

/>如果为y = f（u）（ü∈M），U = G（X）（X∈A），则y = F [G（X）] = F（X），（x∈A）称为F，G的复合功能。

例如：Y = 2sinX= 2cos（X2 +1）

7。函数单调性的

>

（1）提高功能

让函数y = f（x）的定义域I，D的定义域，我的任何两个独立的变量x1的范围内， ×2，当x1 <×2时，F（×1）<|（×2），然后，所述函数f（x）中的间隔D，是一个递增函数。D节被称为单调递增范围的y =函数f（x）（行业内教科书单调区间概念）

对于任何两个独立的变量范围内的D的价值为x1，x2，当x1 F（X2 ），然后说，在这个时间间隔中的函数f（x）是一个递减函数。间隔D为y = f（x）的。

注意：被定义的单调函数的性质上的时间间隔内被称为

任何间隔D两个独立的变量X1，X2，X1 <X2，总的f（X1）<F（X2）。

（2）的图像的特征

如果函数为y = f（x）在某些时间间隔是一个递增函数或递减函数，所述函数y =（严格的函数f（x）单调性）在此区间，单调的图像由左到右的间隔递增函数上升，由左到右的图像减小的递减函数。

（3）函数单调区间单调性的测定方法

（A）定义法：

任何X1，X2，X1 <X2∈D，2差分F（X1）-F（X2）;变形（通常因式分解和配方）;定义（即确定的差值f（×1）-F（×2）的正和负）的结论（注意，函数f（x）上的给定的间隔D单调性）。

（B）图像的方法（电梯从上看）_

（C）复合单调

复合函数f的单调性[G（X） ，构成它的函数u = G（X），Y = F（U）的单调性密切相关，它自己的规则如下：

功能

单调

U = G（X）

增加

增加

少了

减

为y = f（u）

BR />增加

增加

少

Y = F [G（X）]少</

增加

减

增加

注：1，单调间隔仅在其定义域的子区间，单调性相同的时间间隔和一起写，并设置衍生方法在选修学习简单的决定，单调的记住？

8。功能校验

（1）耦合功能

一般情况下，函数f（x）的定义范围内的任意一个的x，（-x）的被称为=函数f（x）中，f（x）的双重功能。

（2）。

奇偶函数，一般，对于任何的域的定义的函数f（x）的一个x，有（-x）的=-函数f（x），则f（x）的被称为奇函数。

注意：一个函数调用的函数是一个奇函数，或偶函数的奇偶校验的奇偶校验的函数是一个函数的整体性质的函数可能没有奇偶校验，它可能是偶数和奇数的函数的函数。

2所示的功能有奇偶校验的必要条件是任何范围的定义的X，-X必须在自定义的变量（即奇偶函数定义域对称的起源，定义）。 / a>

（3）具有奇偶校验功能的形象特点

双重功能的图像关于y轴对称的奇函数的图像是关于原点对称。

摘要：定义判断函数的奇偶格式的步骤：首先确定函数定义域，并确定域名是否左右对称的起源; 2，确定F（X）和f（X ）关系; 3作出适当的结论：如果f（-x）的=（x）的或f（-x）的-F（X）= 0时，f（x）是一个偶函数;如果f（-） = - F（X）或f（X）+ F（X）= 0时，f（x）为奇函数。

注意：函数的定义域函数的宇称对称性的起源一个必要条件。首先看到的函数的定义域是否关于原点对称，非对称功能是非奇非偶函数的定义决定的对称性（1），（2）有时决定F（ - x）的=±F（X）的困难，可以考虑根据是否f（-x）的±（x）的= 0或函数f（x）/（-x）的=±1，以确定，（3）使用的定理，或由装置的判断的函数的图像。

9，的解析表达式的功能

（1）的函数的解析表达式是的功能，需要一个表示两个变量之间的函数关系。它们之间要么是相应的规则，要求域名的功能。

（2）分析表达和功能：待定系数法，替代方法，消除了该法案，如果已知函数解析的结构，待定系数法，称为复合函数F [G（x）的表达式，可供-$ $需要的时候要注意已知值范围比简单的表达，也可用于刮法已知的抽象函数表达式常用的解决方案得到F（X）

10。功能（小）值（定义见课本的页面方程消参P36）

通过使用图像和3功能（小）的值的函数的单调性的最大值的判断功能，利用二次函数的性质和功能（使用方法）2的最大（最小）值（最小）值：如果函数y = f（x）中的时间间隔〔a，b〕单调增加的单调递减函数的时间间隔中y〔b，c〕=函数f（x）具有最大值在x = b的，F （b）的，如果函数为y = f（x）中的时间间隔[，b〕上的单调递减的范围内单调地增加并[b，c]的函数为y =（x）的在x = b的最小f值（B），基本初等函数

索引功能

（一）指数和功率的计算

1。激进的概念：通常情况下，若，则称为次方根（TH根），其中> 1，∈。

当是奇数，一个正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时，n次方根符号。该公式被称为自由基（自由基），这里所谓的根指数（自由基指数），称为被开方（开方数）。

当即使一个正数的n次方根，在这种情况下的两个数的相反数。，正数的n次方根的符号表示的n次方根一个负号 - 表示正n次方根和一负的n次方根可以合并成一个±（> 0）。甚至不负数次方根; 0的任何次方根是0，表示为 a>

注意：当是奇数，甚至

2。分数指数幂的规定的意义，正分数指数幂

正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

：规定了分数指数的力量晋升的整数索引的意义指数的概念，有理数指数，整数指数幂的运算性质也可以扩展到有理数指数幂。

3。实数指数幂的运算性质

（1）; BR />

（2）;

（3）。

（B）的指数函数及其性质

1 ，指数函数的概念：在一般情况下，该功能被称为指数函数（指数），其中x是自变量，函数域R

注意：范围的指数函数基地，基地不能是负数，0和1。指数函数的图像和性质

>

0 <a <1

/ a>

图像特征函数性质

/ a>

于x，y轴是

负方向无限延伸函数的定义域直径

图像的起源和y轴不对称

非奇，非偶函数

函数曲线图，如在x-轴和范围内的功能

+

函数图像在定点（0,1 ）

从左边到右边看

的形象逐渐上升由左到右

图像逐渐下降

递增函数的单调递减函数>

在第一象限内的图像的垂直轴是大于1

纵坐标中的第一象限的图像不太大于1

统筹不到1

纵轴的第二象限的图像的图像的第二象限中是大于1

BR />

的图像向上的趋势是越来越陡

图像向上的趋势是越来越慢

函数值吗？开始增长放缓，快速增长;

函数值开始下降非常快，而且到一定值，然后降低速度较慢;

注意：利用单调性，结合图像也可以看出：

（1 ）在[A，B]，其范围;

（2）采取的所有积极的，当且仅当

（3）指数函数，总

（4），如果，

，对数函数

（一）

1。数概念：一般来说，如果数所谓的思想，对数，记为：（ - 基地 - 实数 - 数）

说明：1注基本限制，;

/>

3注数的书写格式。

两个重要的对数：

常用对数：对数为10; BR />

2的自然对数：无理数的对数的对数的基础。

对数指数对数与指数间

←→电基地的基础上>

←→实数指数←→电源

（二）数的运算性质

和

·+;

2 - ;

3。

注意：改变的基本公式

（，，和;)。

变化的基本公式推导出如下结论（1），（2）。

（二）对数函数

1，对数函数的概念：函数和对数函数，这是独立的变量，功能域（0，+∞）。

注意的是类似的指数函数，对数函数的定义，定义的形式，要注意区分。

：不是对数函数，并且只能被称为作为一个对数函数。

2对数函数的限制的基础上的：，和。

2，对数函数的性质：

>

0 <a <1

函数性质

图像特征

函数图像在y轴的 / a>的功能域（0，+∞）

图像的起源和y轴的非对称

非奇非偶函数

/>函数值范围扩展到y轴方向的正或负无穷大直径

在固定点（1,0）的函数图像

/>由左到右图像的

逐渐增加从左至右看到越来越多的功能

形象逐渐下降降低功能

第一象限的图像统筹大于0

的第一象限图像统筹大于0

的图像的第二象限的垂直轴是小于0

第二象限的图像统筹小于0

（三）电力功能

1，幂函数的定义的：一般情况下，公知的形式作为一个幂函数，这是一个常数的函数。

2，概括的性质电源的功能。

（1）所有的幂函数（0，+∞）的定义，图像过点（1,1）;

>（2）的图像的幂函数通过原点，并在时间间隔是一个增加的函数。特别是，当图像的凸下的幂函数;当时，幂函数的凸的图像;

（3），在第一象限中的幂函数的图像的时间间隔递减函数。，当倾向于从右边原籍，在轴向的图像无限近似轴正半轴趋向上的图像时无限逼近轴侧轴正半轴。

功能的应用程序

根的方程和函数零点

> 1，函数零点的概念：对于功能，以建立一个实数零点的功能。

2，函数为零的意义：函数零点的方程实根与横坐标轴的交点的图像的功能，那就是：

方程的函数的图像与具有零交叉点的功能的实根轴。

</ 3，函数零点的方法：

需求函数为零：

（代数法）求方程的根的实数;

2（几何方法）的方程的性质不能用求根公式与函数图像链接和使用的功能，找到零点。

4，二次函数零点：

二次函数。

1）△> 0，方程有两个不相等的实根图像两个相交点与轴的二次函数，二次函数有两个零。

2）△= 0时，方程有两个相等的实数根（重根），二次函数的图像与轴的交点，一个双零阶或二阶二次函数为零。

3）△<0时，方程无实根的二次函数的图像与轴的交点，没有零的二次函数。

在求两个或多个随机变量和的分布时，需要用到卷积公式如果要求n个相互独立的随机变量和的分布时，就要算n-1次卷积,这是一件很麻烦的事情。由于在各个领域都经常需要用到多个随机变量和的分布，因此找到一种快速有效的方法是非常重要的。

幸运的是，经过人类不断地探索和研究,终于发现特征函数。这个有力的工具,可以高效地获得多个独立随机变量和的分布。应用特征函数来获得多个相互独立的卡方分布随机变量和的概率密度函数，以及概率密度函数的近似表达式

关于函数：

在概率论中，特征函数的益处体现在：任意分布与它的特征函数一一对应；两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积；特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuous theroem)。

比如f(xy)=f(x)+f(y)没有给出具体的函数表达形式，只是给出了相应的函数性质，是一个抽象函数。而满足该性质的一个具体函数被称为特征函数，比如 f(x)=ln(x)

就是它的一个特征函数，观察函数性质可知该特征函数集合是对数函数。

以上内容参考   函数

集对分析是在一定的问题背景下，对集对中2个集合的确定性与不确定性以及确定性与不确定性的相互作用所进行的一种系统和数学分析。通常包括对集对中2个集合的特性、关系、结构、状态、趋势、以及相互联系模式所进行的分析；这种分析一般通过建立所论2个集合的联系数进行，有时也可以不借助联系数进行分析。

对集对中的2个集合作特性分析时，需要先抽象出集对中2个集合各自的特性，再比对这2个集合在哪些特性上同一，也就是同时具备哪些特性；这2个集合在哪些特性上对立，也就是在哪些特性上相互对立、矛盾；而在其它的一些特性上既不同一，也不对立（称之为差异，与同一有差异、与对立也有差异）这样的分析；在此基础上统计这2个集合的同一特性数（记为A），相反特性数（记为C），既不相同又不相反（差异）的特性数（记为B），并写成“联系数”的形式：U=A（+）Bi （+）Cj，这里j表示对立，i表示差异（中介、不确定、不确知，数据缺失等），在需要计数时，给j和 i赋值；这时要明确j代表何种对立，例如当所论问题涉及的是“正负型对立（1（-1）=-1）”，则取j=-1，与此同时i在[-1，1]区间取值；当所论问题涉及的是“虚实型对立（1（-1）=（-1））”时，则取j=（-1）），这时i在[1，（-1））]空间取值；如此等等；由此可见 i是j的函数，j又是问题（W）的函数，因此，i是问题（W）的复合函数，在此基础上开展适当的数学运算和数学分析。从集对论的角度看，这时的“联系数”其实也是所论集对的一种特征函数。

对集对中的2个集合作关系分析时，需要先具体分析所论2个集合的各种关系，这些关系中有的是确定的关系（如等价关系、对应关系等），有的是不确定的关系（如随机关系、模糊关系，一因多果关系、非线性关系等），假定分析得到的关系都是同等重要的，则把所有确定的关系数计入A，所有不确定的关系数计入B，再把A和B写成“联系数”：U=A（+）Bi的形式。这时的“联系数” U=A（+）Bi其实也是所论集对的一种特征函数。

对集对中的2个集合作结构分析时，需要对其中的每个集合所组成的元素作空间结构分析，包括元素的性质、元素的粒度、元素的个数、元素的分布、元素的集聚进行分析，换言之，也就是要先对一个集合的“结构”作出分析，再去比对这2个集合在“结构”上的同异反，写出这2个集合在结构上的同异反联系数，这个同异反联系数其实也是所论集对的一种“结构函数”，当然，这种结构函数也是集对的一种特征函数。如此等等。

有关集对状态、趋势和模式的分析将另作说明。

集对分析不仅适用于只有2个集合存在的场合，也适用于有多个集合存在的场合，这时需要先就每2个集合写出联系数，再对得到的若干个联系数作适当的运算和分析，以解决给定的问题。

集对分析还主张从“集对”的本意出发：提倡同一个问题用2种或多种不同的方法、2个或多个不同的角度，2次或多次反复去研究，再把研究结果集成，得出最后的结论，以此来保证集对分析结论的可靠性和可信性。由此可见，集对分析是研究和处理复杂系统中有关不确定性问题的一种系统数学方法。

在已有的一些文献中，集对分析也被称为联系数学，但从本义上说，2者还是有区别，主要的区别在于集对分析有时可以不借助联系数进行系统数学分析，但联系数学涉及联系数的运算。

集对分析由中国学者赵克勤提出于1989年包头召开的全国系统科学与区域规划学术研讨会，20多年来在自然科学与社会科学的众多领域得到广泛应用，在中国知网上已可检索到有关研究和应用集对分析的论文近2000篇，发表集对分析的高校学报有180多家，专业学术期刊350多家，其中有《中国科学》、《中国工程科学》等刊物，但作为现代数学的一个新分支，集对分析仍处在发展之中。

一个变换用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力学中的时不变薛定谔方程

HΨE = EΨE

其中H是哈密尔顿算子，一个二阶微分算子而ΨE是波函数，对应于特征值E的特征函数，该值可以解释为它的能量。

一个氢原子中的一个电子的束缚态所对应的波函数可以视为氢原子哈密尔顿算子的一个特征向量，也是角动量算子的一个特征向量。它们对应于可以解释为它们的能量(递增：n=1,2,3,)和角动量(递增：s, p, d,)的特征值。这里画出了波函数绝对值的平方。更亮区域对应于位置测度的更高概率密度。每幅图的中心都是原子核，一个质子但是，在这个情况我们只寻找薛定鄂方程的束缚态解，就像在量子化学中常做的那样，我们在平方可积的函数中寻找ΨE。因为这个空间是一个希尔伯特空间，有一个定义良好的标量积，我们可以引入一个基集合，在其中ΨE和H可以表示为一个一维数组和一个矩阵。这使得我们能够用矩阵形式表达薛定鄂方程。

狄拉克记法经常在这个上下文中使用，以强调状态的向量和它的表示，函数ΨE之间的区别。在这个情况下，薛定鄂方程写作

并称是H的一个本征态(H有时候在入门级课本中写作)，H被看作是一个变换（参看观测值）而不是一个它用微分算子术语进行的特定表示。在上述方程中，理解为通过应用H到得到的一个向量。 在因素分析中，一个协变矩阵的特征向量对应于因素，而特征值是因素负载。因素分析是一种统计学技术，用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其他处理大量数据的应用科学。其目标是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在一些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模，再加上“残差项。

特征脸是特征向量的例子

在图像处理中，脸部图像的处理可以看作分量为每个像素的辉度的向量。该向量空间的维数是像素的个数。一个标准化面部图形的一个大型数据集合的协变矩阵的特征向量称为特征脸。它们对于将任何面部图像表达为它们的线性组合非常有用。特征脸提供了一种用于识别目的的数据压缩方式。在这个应用中，一般只取那些最大特征值所对应的特征脸。 在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵I − T − 1 / 2AT − 1 / 2，其中T是对角阵表示每个顶点的度数，在T − 1 / 2中，0用于取代0 − 1 / 2。图的主特征向量用于测量其顶点的中心度。Google的PageRank算法就是一个例子。www图的修正邻接矩阵的主特征向量的分量给出了页面评分。

这里特征函数是指定义在 A 上的一个特殊函数，它满足那个定义。

（1）正确。因为 A 是 B 的子集，因此 fA(x)=1 时 x∈A ，显然 x∈B ，因此 fB(x)=1 ；

而 fA(x)=0 时，显然有 fA(x)<=fB(x) （因为右边不是 1 就是 0 ）。

（2）正确。按定义 fA(x) 与 fCuA(x) 正好一个等于 1 一个等于 0 。

（3）不正确。当 x 是 A∩B 的元素时，左边等于 1，右边等于 1+1=2 。

（4）不正确。同上。