为什么要将周期信号进行傅里叶变换

分析信号的“内部构造”。

因为绝大部分周期信号均可被分解为频率为基波频率整数倍的各次正弦波。采用傅里叶变换后，就可以得到各次正弦波的频率、幅值、相位。

一方面，可以用有限的参数完整的表达复杂的信号，另一方面，可以非常方便的了解到关注信号的含量（如基波）及不希望包含的、无用的、甚至有危害的信号含量（如电网中的谐波）。

傅里叶变换的卷积特性：就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。

傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式；

而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：

1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；

2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。

正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

  公式如下图：

  傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

  Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。

  傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。

   ①傅里叶变换

  ②傅里叶逆变换

  傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

周期函数的频谱是用傅立叶级数，非周期是用傅立叶变换，在信号与系统里有具体介绍。傅立叶级数的涵义就是任意周期信号可用许多个正弦和余弦函数相加近似，而正弦和余弦都是周期且时域上无限的信号。傅立叶变换是在傅立叶级数的思想上扩展到非周期信号上的。

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:

    这种由很多项相加的形式就是级数。

    对于函数就是如下这个形式：

    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。

    所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。

    法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

    看一个动图来理解下这句话。

    右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。

    下面给出傅里叶级数的数学公式。

原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。

便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。

     代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。

    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。

    很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。

    还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：

    我们只需要求出 就可以得到 。

    所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：

    对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。

    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。

    当然上面是小学生的解法，大家不要当真。

    在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入：

其对应的解为：

    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。

什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。

和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0

而在函数上的正交就表现为积分的形式:

其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。

回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。

{ }

任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：

关于其证明网上有很多，这里就不细说了。

下面看如何利用上面的性质来接

将函数两边同时积分

将 移到前面。

其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于

于是:

下面求解下

将两边乘上 ，然后两边同时积分

将 移到前面。

同样根据正交性 等于0 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：

在正交性那块我给出了 ，所以:

关于 求法是一样得，这里就不细说了。

上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。

如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)

中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。