函数连续性的判断

判断连续用定义法,函数f(x)在点x0是连续的,是指

lim(x→x0)f(x)=f(x0)

函数在某个区间连续是指

任意x0属于某个区间都有以上的式子成立

还有一条重要结论：初等函数在其有意义的定义域内都是连续的

从图像上看,可导函数是一条光滑曲线,即没有出现尖点,如y=x绝对值在x=0处是尖点,故不可导而且因为可导必连续,所以不连续点（间断点）一定不可导

从定义上,f'(x0)=lim△x→0 [f(x0+△x)-f(x0)]/△x

我们必须求出函数f(x) 在x=x0处可导的充分必要条件是x=x0处的左右导数都存在且相等,即f'(x0-0)=f'(x0+0)

判断函数是否连续方法：求出某点左右极限，如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则函数在此点连续，如果任意点在考察的范围内都满足这个条件，则该函数是连续的。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

判断二元函数连续方法是：先确定函数定义域，在定义域的端点和函数的特殊点讨论其连续性，就是判断在某点左右极限是否存在，是否相等，且是否等于函数在该点的函数值，如果存在并相等则表示连续。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。

一、若知该函数为初等函数,则说明它是初等函数,在其定义区间上均连续；

二、若该函数为一元函数,则可对该函数求导,其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续；

三、实在不行,只好求极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,则连续；

注：左右极限只是求极限的一个部分内容,当函数为分段函数时,分段点处的极限求法必须使用左右极限来求

根据函数的连续性定义来判断。

函数连续性定义：

对定义域内任意一个x0，在x0的领域内都有limf(x)=f(x0)(x->x0)

即函数在x0处的极限值等于该点的函数值时，由函数在该点连续，如果函数在定义域内的每一个点都连续，则该函数在定义域内连续。

从图像上看，函数连续，则图像是一条不断开的曲线。如果从某点处断开，则函数在该点就不连续了。

连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x<1，1<x<2，x>2共3段连续区间。

2、对数指数大于零，x<2就是连续区间。

3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。

4、arcsinx>0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。

扩展资料：

连续函数：

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续 

2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续  

3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续 

4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断） 

5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的 

6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的

-连续 （数学名词）