复变函数与积分变换

添加平面∑1：z＝h (x^2+y^2≤h^2)，取上侧，则∑与∑1组成一个封闭曲面，方向是外侧，三个偏导数都是0，所以由高斯公式，积分是0。

所以，

∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(D)(x^2－y)dxdy ∑1在xy面上的投影区域D：x^2+y^2≤h^2

＝－∫∫(D) x^2 dxdy

＝－1/2 ∫∫(D) (x^2+y^2)dxdy

＝－1/2 ∫0→2π dθ ∫0→h ρ^3 dρ＝－πh^4/4

由于1/(z^-1)=1/(z+1)(z-1)=(1/2)[1/(z-1)-1/(z+1)]，故原积分可拆开为两部分，即积分=(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z-1)-(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z+1)，这种形式便于使用柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)。第一问中的积分曲线为以z=-1为中心，1/2为半径的圆周，这圆周内包含奇点z=-1，但不包含z=1，即第一个积分中被积函数在积分曲线内部是解析的，因此第一个积分=0，因此原积分=0-(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z+1)=-2πi(1/2)sin(-π/4)=(√2/2)πi。第二问同理，这里第二个积分等于0，计算后积分=2πi(1/2)sin(π/4)=(√2/2)πi，第三问中两个奇点都在积分曲线内部，故积分结果等于前两问结果相加=√2πi。

《复变函数与积分变换》起点比较低，力求讲解细致、通俗易懂，在引入概念时注意和熟悉知识相关联。在每章的最后增加了本章知识总结和典型例题，每章配有两种难度层次的习题。《复变函数与积分变换》第一章介绍了复变函数的基本概念，第二章到第五章是复变函数理论的基本内容，包括了复变函数的积分理论、级数理论、留数理论、保角映射等传统复变函数基础理论，第六、七章介绍了两种积分变换理论：傅里叶变换和拉普拉斯变换。