函数具有有限导数，但不可积的例子？

Volterra函数就是这样的例子

只要从x^2sin(1/x)出发，在一个Smith–Volterra–Cantor型集合上不停地复制就行了，这样得到的Volterra函数处处可导且导函数有界，但是导函数的不连续点全体不是零测度的。

这里的“不可积”指的是原函数不能表示成初等函数的形式

果然考试周就是不务正业

还有超几何分布函数，惠特克函数，贝塞尔函数，椭圆函数

更多的特殊函数可以参考 特殊函数概论(王竹溪)

这个论题是数学分析的论题啦，可积这个定义本就有不同的条件描述，如黎曼可积，勒贝格可积，所以要说一个函数可积或是不可积，那要看使用的判定标准了，楼主给出的是工程上很常用的反常积分，其实就是正态函数的积分，这个初等函数不是不可积的，只是其原函数无法用初等函数表示而已，它甚至连解析不可积都不能算，这样的情况还很多，如正弦积分

Si(x)=int('sin(t)/t',t,0,x)

(用于分析理想低通滤波的阶跃响应)，只是一些基本概念，希望对楼主有些帮助，当然，还是希望有大牛补充严密的论述^_^

理论上来说，存在相应的明确的表达式的，但是，这些表达式很难求出来（有些稍复杂的几乎就不可能求出来，原因可能是现在的数学水平还未到达需要的先进程度吧）。 但是，这并不代表不可积。 可以用非显式积分（你所说的求出具体表达式积分的方法是显式积分），比如在积分域上取若干个点，求出相应函数值，再乘X坐标步长，X划分得越细，也就越精确。 还有一种方法就是插值法，求出相近的明确的表达式～

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。

例如：求sinx/x的不定积分。

∫sinxdx/x

=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)

=-cosx/x+∫dsinx/x^2

=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3

=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)

=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5

=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5++(2n-1)!(-1)^(2n-1) cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)

往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。

注意：

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

扩展资料：

其他定义：

除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。

勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：

由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。

-积分

原因如下：

可以假设这样一个函数f（x）=1（x是有理数的时候）=0（x是无理数的时候）那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。

但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内斗有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内斗不可积。

ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f：R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

扩展资料：

ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于-1或1）是无界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞)，则函数就是有界的。

——有界函数