二元函数条件极值充要条件判断极值是极大值还是极小值ac-b2那个

具体问题具体分析

一个函数能够取到极值的充要条件是

(1) 在该点处 f' = 0。

(2) 在 f' = 0 处的点的左右两旁导数的符号相反。

在极值点两旁，

若 f'左 > 0，f'右 < 0，则为极大值。

若 f'左 < 0，f'右 > 0，则为极小值。

如果有限制条件,例如限制条件为ψ（x,y）=0,那么有两种方法：

1、升维：构造拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解,然后在验证是否取得极值。

2、降维：这种方法多种多样,比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0,限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x,y）=0,将其带入u(x,y,z)中,这样的话,原函数就由3维降到了2维，就比较方便了。

-极值

二元极值确定分两步：

1F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。

2FxxFyy和FxyFyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。

二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：

1f'(x)=0,找出驻点。

2f''(x)判断，驻点是否为极值。

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设函数

z

=

f

(

x

,

y

)

在点

(

x

0

,

y

0

)

的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数

,

又

f

x

(

x

0

,

y

0

)

=

0

,

f

y

(

x

0

,

y

0

)

=

0

,

令

f

xx

(

x

0

,

y

0

)

=

A

,

f

xy

(

x

0

,

y

0

)

=

B

,

f

yy

(

x

0

,

y

0

)

=

C

,

则

f

(

x

,

y

)

在

(

x

0

,

y

0

)

处是否取得极值的条件如下：

(1)

AC

-

B^2

>0

时具有极值

,

且当

A

<0

时有极大值

,

当

A

>0

时有极小值

;

(2)

AC

-

B^2

<0

时没有极值

;

(3)

AC

-

B^2

=

0

时可能有极值

,

也可能没有极值

是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定

在函数

f

(

x

,

y

)

的驻点处

如果

f

xx

×

f

yy

-

f

xy

^2

>0

,

则函数具有极值

,

且

当

f

xx

<0

时有极大值

,

当

f

xx

>0

时有极小值。

解：先对方程求偏导数，即首先将X2看作常数，将X1看作自变量求导数得：

Y'(X1)=693569-225646X1(1)

然后将X1看作常数，将X2看作自变量求导数得：

Y'(X2)=155-2017X2(2)

当Y'(X1)=0时，代入（1）解得：X1=13522;

当Y'(X1)=0时，代入（2）解得：X2=45588

显然两个自变量的数值都在规定范围内，且Y'(X1)的值随X1增大而减小，Y'(X2)的值X2增大而减小，故原方程有最大值。将两值代入原方程得最大值：

Ymax=-3856444+9378440+706614-4689230+353305

=1892685

这个应该是导数里面的概念对一个二元函数求导,导函数=0时求到的x值所对应的点就是极值点,所对应的y就是极值（有极大值和极小值）比如一个y=x^2+x对它求导y'=2x+1=0 求到x=-1/2,则它的极小值为-1/4

表现在图象上就是先减后增的最低点为极小值,反之为极大值（注：极值不一定是最值）