怎么判断奇偶性

奇偶性

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

单调函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；

（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：

1）定义法

a设x1、x2∈给定区间，且x1<x2

b计算f(x1)- f(x2)至最简。

c判断上述差的符号。

2）求导法

利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是增函数，导函数值小于0，说明是减函数，前提是原函数必须是连续的。

判断一个函数的奇偶性，可以遵循下列方法：

当f(x)函数满足，f(-x)=f(x)时，则该函数是偶函数；

当f(x)函数满足，f(-x)=-f(x)时，则该函数是奇函数；

当f(x)函数不满足，f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)时，则该函数是非偶非奇函数。

例如：判断函数y=x²sinx的奇偶性

f(-x)=(-x)²sin(-x)=-x²sinx=-f(x)

所以，函数y=x²sinx是奇函数。

判断函数奇偶性的方法有两种，一种是用函数图像，如果能迅速画出函数图像来，只要图像关于Y轴对称那么它就是一偶函数，如果图像关于原点成中心对称，那么它就是奇函数。另一种方法就是用定义来做了，分成两步。第一步就是看定义域，如果定义域关于零对称了，那么做下一步，如果定义域不对称，就是非奇非偶函数了。第二步，就是看f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x），则为奇函数。

你题目中第一个根号里面是x²-2吧。

本题，用定义来做。先看定义域，x²-2≥0且2-x²≥0，解得：定义域为｛-√2，√2｝，只有两个元素。当然关于零对称了。做第二步，显然f(-x)=f(x)。所以是偶函数。

与老师答案不一致，除非你写错题目了。用正确方法自己再做一下，要相信自己。