牛顿迭代法公式

牛顿迭代法公式：1x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(0))。

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。

并且，如果不为0,那么牛顿法将具有平方收敛的性能粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法，即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

它利用计算机运算速度快、适合做重复性 *** 作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

x1,x2,……,xn,Sk=x1^k+x2^k+……+xn^k

t1,t2,……,tn是n的初等对称项

有一、Sk-t1Sk-1+t2Sk-2+……+(-1)^k-1tk-1S1+(-1)^ktk=0(k<=n)

二、Sk-t1Sk-2+……+(-1)^ktkSk-n=0(k>n)

这两个公式都叫牛顿公式，希望对你有用！

牛顿莱布尼茨公式的证明如下：

证明：设：F(x)在区间(a，b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1，x2，…xi…x(n-1)，记a=x0，b=xn，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

则F(x)在区间[x(i-1)，xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1，2，3…)。当Δx很小时：

F(x1)-F(x0)=F’(x1)Δx。

F(x2)-F(x1)=F’(x2)Δx。

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)Δx。

所以，F(b)-F(a)=F’(x1)Δx+ F’(x2)Δx+…+ F’(xn)Δx；当n→+∞时，∫(a，b)F’(x)dx=F(b)-F(a)。

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。

因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

定理意义：

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理，其内容是：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)

其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

根据牛顿法的迭代公式，自定义牛顿法函数 newton()。

在命令窗口中，输入

[x,y,tol] = newton_main()   回车后得到如下结果

x =      664162968961185e-07

y =      440980585381112e-13

tol =    1e-06

建立m文件：function [result ,k] = newton(fun,x0,e)% 调用形式：% [x k] = newton(fun,x0,e)% 功能：% 用差商求导的牛顿法求解一元非线性方程的根% 输入：% -- fun 字符串,f(x)的表达式,以x作为自变量,以字符串形

一、初中阶段：由重力公式G=mg得到g=G/m。则g=98N/kg

二、高中阶段：由重力加速度（自由落体运动）得到：g=(Vt-Vo)/t，则g=98m/s²

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。[1] 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，[2]  1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。[1]  因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。[7] 

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。