双曲正弦的导数

chx的导数是shx。。shx的导数是chx。。

不定积分 结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。

反双曲正弦函数Ln(x+sqrt(1+x^2))的导数是1/根号(1+x平方)。

数字帝国 GG泛滥但是是一个计算器网页。。

双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。

与正切函数类似，双曲正切函数在计算上等于双曲正弦与双曲余弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。

y=sech x，定义域：R，值域：(0,1]，偶函数，最高点是(0,1)，函数在(0,+∞)严格单调递减，(-∞,0)严格单调递增。x轴是其渐近线。

y=csch x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y|y≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴。

到百度上搜索一下求导公式就来了，

shx = (e^x - e^(-x)/2, (shx) ' =chx

chx = (e^x + e^(-x)/2, (chx) ' =shx

thx = shx / chx, (thx) ' = 1/(chx)^2

arcsinh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] , (arcsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)

arccosh x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] , (arccosh x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)

arctanh x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ], (arctanh x) ' = 1/(1-x^2)

那下面这个公式中的 x，用 u=2x+1 代替，然后把分子 1 改成 2 就好了，最多再把根号中的， (2x+1)^2+1 展开为 4x^2+4x+2

(arcsinh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)

sh和ch分别叫做双曲正弦函数和双曲余弦函数，y是函数的自变量。

双曲函数sh(y)=e^y-e^(-y)/2ch(y)=e^y+e^(-y)/2

双曲函数可借助指数函数定义

Sinh_cosh_tanh

双曲正弦

sh z =(e^duz-e^(-z))/2 ⑴

双曲余弦

ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵

双曲正切

th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶

扩展资料：

以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。这偶极线所产生的电势便为

φ=φ1+φ2

=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）

=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （1）

式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（1）式便化为

φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （2）

由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是

φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （3）

-双曲函数

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的参数方程可以表示为：x=ach t (双曲余弦),y=bsh t (双曲正弦)

与三角函数表示的椭圆的参数方程有相同的形式,很优美

这可以算是一个联系吧!

反双曲函数是双曲函数的反函数,

双曲余弦函数的定义是这样的。

具体这个定义是怎么来的，可能和双曲线有关系，这里我就不商讨了。而且双曲余弦函数y=coshx也可简写为y=chx。y=chx和y=coshx都是一样的。

双曲余弦函数的定义域是 ，值域是 ，当x=0时，x取到最小值1。

由于

而

根据加法交换律可得知f(x)=f(-x)，很明显，双曲余弦函数是偶函数。

双曲余弦函数y=cosh x，在区间 内它是单调减少的，在区间 内它是单调增加的。cosh 0=1是该函数的最小值。

根据双曲余弦函数的导数，可知由于分母是永远大于0的，而分子中 也是永远大于0。只有 在x=0时是等于0。在x<0时。 <0。在x>0时。 得出当x<0时，双曲余弦函数的导数永远小于0。当x>0时，双曲余弦函数的导数永远大于0。那么它在 内单调递减的，在 内单调递增。在x=0时，最小值为1。无最大值。

由于(coshx)'= ，那么双曲余弦函数的二阶导数为那么(coshx)''=( )'=( )'= =coshx，可见双曲余弦函数的二阶导数是它本身。而双曲余弦函数的值域是 。那么双曲余弦函数的二阶导数在实数集R上恒大于0。

而根据函数凹凸性的判定方法（定理）：

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶导数和二阶导数，那么：

(1)若在（a,b）内，f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

(2)若在（a,b）内，f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

根据上面的函数凹凸性判断定理。得出那么无论是在那个单调区间，双曲余弦函数都是凹函数。

无论是双曲余弦函数y=cosh x，还是双曲正弦函数y=sinh x、双曲正切函数y=tanh x，它们都不是周期函数。

双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数。即(coshx)'=sinhx，也可以转化为(coshx)'=sinhx= =

其中，C为常数。可见，双曲余弦函数的不定积分，除去常数C，也是双曲正弦函数。

双曲余弦函数的泰勒展开式为：

即

双曲余弦函数的反函数是反双曲余弦函数。它记作arcoshx。其中，x满足条件： 。反双曲余弦函数的图像原本有x轴上方的一支和x轴下方的一支。即且这两支关于x轴对称。但是，这样子会造成一个自变量x对应两个函数值，不符合函数的定义。为了符合函数的定义，一般取x轴上方的那一支。因而得到了反双曲余弦函数的定义式。 ，其中 。双曲余弦的反函数，即反双曲余弦函数y=arcoshx的定义域为[1，+∞）。它在[1，+∞）上是单调递增的。

双曲余弦函数的图像是一条有点像抛物线（二次）但不是抛物线的曲线。因这条曲线与两端固定的绳子（或铁链）在均匀引力作用下下垂相似。这条曲线称作悬链线。悬链线就是双曲余弦函数的图像。悬链线的数学表达式为 。其中，a为常数。当a=1时，所得的函数（图像）正好是双曲余弦函数（图像）。

双曲余弦函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。其中，拉普拉斯方程可能用到双曲余弦函数外，还有双曲正弦函数、双曲正切函数等。

sh表示双曲正弦函数，一般记作sinh，也可简写成sh。

ch表示双曲余弦函数，一般记作cosh，也可简写为ch。双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等。

双曲正弦函数的定义式为：sinh=(e-e)/2。当x的绝对值很大时，双曲正弦函数的图形在第一象限内接近于曲线y=e/2，在第三象限内接近于曲线y=-e/2。当x=0时，sinhx=sinh0=0。双曲余弦函数的定义式为：cosh=(e+e)/2。当x=0时，cosh0=1是该函数的最小值。

扩展资料：

双曲正弦函数在区间内它是单调增加的。证明如下：查双曲函数的导数公式，得到：而双曲余弦函数的值域是。无论取何值，的值永远大于0。可见，双曲正弦函数在内永远是单调递增的。

从原点发出的射线与单位双曲线相交于点（cosh a,sinh a)。这里的a为射线、双曲线和x轴围成的面积的两倍。对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。其中，cosh a就是a的双曲余弦函数。

参考资料：

                   ——双曲正弦函数