为什么泰勒公式可以用一个n次多项式近似等于f(x),这是如何推导出来的?

对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自身变量进行有限次的加，减，乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用来近似地表达函数，这种近似表达在数学上经常称为逼近。所以刚开始只是进行一个猜想存在一个多项式，可以近似的等于f（x）。然后泰勒等人经过研究而找到了展开的方法。为了能够进行泰勒展开，必须满足一定条件的。并不是所有的函数都能够找到一个n次多项式，可以近似相等的，也就是说并不是自然存在的！

是为了用多项式逼近原函数。

高数里面求极限很多都可以用泰勒展开

物理里面分析求解的时候可以泰勒展开省略掉无穷小量，分析主要影响因素

数值计算的时候也可以用泰勒展开来做近似计算

数学这东西是门工具学科，你先学着，到时候要用的时候就知道了。就我的经验来看，数学里面很多公式书上都会讲有什么用，但是我们一般都看不懂，只有学习别的学科开始用的时候才知道以前学的有什么用。

很荣幸为您解答问题。

Taylor 公式是用多项式近似函数的一种方法，其原理是函数的无穷次导数均趋近于咱们做出来的近似多项式的导数。

所以注意：

是无穷次导数，而不是一次导数。

而且您要注意，Taylor 公式后面有一个余项，那取决于您相似的程度，如果您仅做出了满足一次导数相同 点的近似多项式，那么余项就是该导数幂-1的高阶无穷小量，（如果您不是大学生，可以忽略这一块）。

正确利用Taylor公式的方法，应该接触尽可能多次的导数值，而只要您肯发现，多做几次导数，就会找到规律，此指数型导数的无穷次到数值的表达式的系数是有规律的，所以很容易写出无穷次导数表达式的通项，用这个通项去带入，取极限（涉及高等数学和数学分析），就回得出正确的值了。

我是数学系学生，如果您不明白，或者我说的不对，还望多多交流。望采纳