求函数发展，三角函数发展，向量发展相关历史，500字左右研究材料？？

1．1 早期函数概念——几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几

乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，

法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17

世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718

年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数

的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18

世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和

一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数

1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837

年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个

确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以

完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4 现代函数概念——集合论下的函数

1914年豪斯道

夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确

的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪

斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为

y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意

味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于

1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以

数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。向量是作为力、速度、加速度等量大小而引入 数学的。

希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量，两个力的合成，可以从两个向量运用平行四 边形的法则得到。即以此两力所代表的向量为边作平行四边形，其对角线的大小和方向即表示合力的大小与方向（ 如下图）。

德国的斯提文（1548-1620）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。伽利略（1564-1642）清楚地叙述 了这个定律。

稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了 复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究 向量。

英国数学家亥维赛（1850-1925）在向量分析上作出了许多贡献。他首先给出了向量的定义：向量 =a +b +c 。这里 、 、 分别是沿着x、y、z轴方向的单向矢量，系数a、b、c是实数，称为分量等等。至于n 维向量的理论是由德国数学家格拉斯曼1844年引了的。

三角学的起源与发展

三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。

(一) 西方的发展

三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)

继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。

(二)中国的发展

我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。

贰、三角函数的演进

　　正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。

尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度 人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

　　意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。

1997年，OMG组织（Object Management Group对象管理组织）发布了统一建模语言（Unified Modeling Language，UML）。UML的目标之一就是为开发团队提供标准通用的设计语言来开发和构建计算机应用。UML提出了一套IT专业人员期待多年的统一的标准建模符号。通过使用UML，这些人员能够阅读和交流系统架构和设计规划--就像建筑工人多年来所使用的建筑设计图一样。

2003年，UML已经获得了业界的认同。

UML的是要成为一种标准的统一语言，使得IT专业人员能够进行计算机应用程序的建模。UML的主要创始人是Jim Rumbaugh、Ivar Jacobson和Grady Booch，他们最初都有自己的建模方法（OMT、OOSE和Booch），彼此之间存在着竞争。最终，他们联合起来创造了一种开放的标准。UML成为标准建模语言的原因之一在于，它与程序设计语言无关。而且，UML符号集只是一种语言而不是一种方法学。因为语言与方法学不同，它可以在不做任何更改的情况下很容易地适应任何公司的业务运作方式。

UML不是一种方法学，不需要任何正式的工作产品。而且它还提供了多种类型的模型描述图（diagram），当在某种给定的方法学中使用这些图时，它使得开发中的应用程序的更易理解。UML的内涵远不只是这些模型描述图，但是对于入门来说，这些图对这门语言及其用法背后的基本原理提供了很好的介绍。通过把标准的UML图放进工作产品中，精通UML的人员就更加容易加入项目并迅速进入角色。最常用的UML图包括：用例图、类图、序列图、状态图、活动图、组件图和部署图。

UML语言开发始于1994年8月，当时Rational软件公司的Booch和Rumbaugh着手进行统一的Booch方法和OMT方法，以便以后得到一种统一的建模语言。1995年10月，他们发布了统一方法（UM）的初级版本。同年秋天，Jacobson加盟联合开发小组，并力图把OOSE方法也统一进来。

经过Booch、Rumbaugh和Jacobson的努力，UML09和091版在1996年的6月和10月出版。1996年，OMG（对象管理组）发布了向外界征集关于面向对象建模标准方法的消息。UML的3位创始人开始与来自其它公司的软件工程方法专家和开发人员一道制定了一套OMG感兴趣的方法，并设计了一种被软件开发工具提供者、软件开发方法学家和开发人员这些最终用户接受的建模语言。与此同时，其它一些相关人员也在做这项富有竞争性的工作。1997年9月1日产生了UML11，并提交到OMG进行讨论。

OMG于1997年11月正式接纳了UML11，然后成立任务组不断的修订，并产生了UML12、13和14版本，其中UML13是较为重要的修订版本。该组织正在对UML进行重大修订，其目标是推出UML20，做为向ISO提交的标准方案。

公认的面向对象建模语言出现于20世纪70年代中期。从1989年到1994年，其数量从不到十种增加到了五十多种。在众多的建模语言中，语言的创造者努力推崇自己的产品，并在实践中不断完善。但是，OO方法（Object-Oriented Method，面向对象的方法）的用户并不了解不同建模语言的优缺点及相互之间的差异，因而很难根据应用特点选择合适的建模语言，于是爆发了一场“方法大战”。20世纪90年代中，一批新方法出现了，其中最引人注目的是Booch 1993、OOSE和OMT-2等。

Grady Booch是面向对象方法最早的倡导者之一，他提出了面向对象软件工程的概念。1991年，他将以前面向Ada的工作扩展到整个面向对象设计领域。Booch 1993比较适合于系统的设计和构造。

James Rumbaugh等人提出了面向对象的建模技术（OMT，一种软件开发方法）方法，采用了面向对象的概念，并引入各种独立于语言的表示符。这种方法用对象模型、动态模型、功能模型和用例模型，共同完成对整个系统的建模，所定义的概念和符号可用于软件开发的分析、设计和实现的全过程，软件开发人员不必在开发过程的不同阶段进行概念和符号的转换。OMT-2特别适用于分析和描述以数据为中心的信息系统。

Jacobson于1994年提出了OOSE方法，其最大特点是面向用例(Use-Case)，并在用例的描述中引入了外部角色的概念。用例的概念是精确描述需求的重要武器，但用例贯穿于整个开发过程，包括对系统的测试和验证。OOSE比较适合支持商业工程和需求分析。

此外，还有Coad/Yourdon方法，即著名的OOA/OOD，它是最早的面向对象的分析和设计方法之一。该方法简单、易学，适合于面向对象技术的初学者使用，但由于该方法在处理能力方面的局限，截至2013年已很少使用。

概括起来：首先，面对众多的建模语言，用户由于没有能力区别不同语言之间的差别，因此很难找到一种比较适合其应用特点的语言；其次，众多的建模语言实际上各有千秋；第三，虽然不同的建模语言大多雷同，但仍存在某些细微的差别，极大地妨碍了用户之间的交流。因此在客观上，极有必要在精心比较不同的建模语言优缺点及总结面向对象技术应用实践的基础上，组织联合设计小组，根据应用需求，取其精华，去其糟粕，求同存异，统一建模语言。

1994年10月，Grady Booch和Jim Rumbaugh开始致力于这一工作。他们首先将Booch 93和OMT-2 统一起来，并于1995年10月发布了第一个公开版本，称之为统一方法UM 08（Unitied Method）。1995年秋，OOSE 的创始人Ivar Jacobson加盟到这一工作。经过Booch、Rumbaugh和Jacobson三人的共同努力，于1996年6月和10月分别发布了两个新的版本，即UML 09和UML 091，并将UM重新命名为UML（Unified Modeling Language）。

1996年，一些机构将UML作为其商业策略已日趋明显。UML的开发者得到了来自公众的正面反应，并倡议成立了UML成员协会，以完善、加强和促进UML的定义工作。当时的成员有DEC、HP、I－Logix、 Itellicorp、 IBM、ICON Computing、MCI Systemhouse、Microsoft、Oracle、Rational Software、TI以及Unisys。这一机构对UML 10（1997年1月）及UML 11（1997年11月17日）的定义和发布起了重要的促进作用。

UML是一种定义良好、易于表达、功能强大且普遍适用的建模语言。它融入了软件工程领域的新思想、新方法和新技术。它的作用域不限于支持面向对象的分析与设计，还支持从需求分析开始的软件开发的全过程。

面向对象技术和UML的发展过程可用上图来表示，标准建模语言的出现是其重要成果。在美国，截止1996年10月，UML获得了工业界、科技界和应用界的广泛支持，已有700多个公司表示支持采用UML作为建模语言。1996年底，UML已稳占面向对象技术市场的85%，成为可视化建模语言事实上的工业标准。1997年11月17日，OMG采纳UML 11作为基于面向对象技术的标准建模语言。

美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），是一项国际级的竞赛项目，更是现今各类数学建模竞赛之鼻祖。MCM/ICM 是 Mathematical Contest in Modeling 和 Interdisciplinary Contest in Modeling 的缩写，即“数学建模竞赛”和“交叉学科建模竞赛”。

MCM 始于 1985 年，ICM 始于 2000 年，由竞赛的主持者是美国数学及其应用联合会COMAP，并得到美国运筹及工业和应用数学协会、美国工业与应用数学学会、美国数学协会等多个组织的赞助。美国赛着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。

美国国际大学生数学建模竞赛从1985年开始举办，英文全称“Mathematical Contest in Modeling”，缩写为“MCM”。MCM的每个参赛队由3名队员和1名指导教师组成，比赛为期四天，每次只有两个考题，每队只需任选一题。在四天的参赛时间内参赛者可以使用包括计算机、软件包、教科书、杂志和手册等资源。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续四天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。

这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，并逐渐吸引了世界各地的高校参加。第一届MCM时，就有美国70所大学的90个队参加，到1992年已经有美国及其它一些国家的189所大学292个队参加，在某种意义下，它已经成为一种国际性的竞赛。2008 年MCM/ICM 有超过 2000 个队伍参加，遍及五大洲。而2010年参赛人数更是开创新高！MCM/ICM 已经成为最著名的国际大学生竞赛之一。

我国一些著名大学从1989年起开始参加这项赛事，并经常在该项赛事中取得令人瞩目的成绩，大大提升了学校的国际知名度，如上海交通大学、浙江大学、西北工业大学等。该竞赛每年一届，一般在二月份的一个周末举行，历时四天。每个参赛学校最多报四支队，其中每个系最多报两支队。由于比赛时间正值中国农历新年，为我国大学师生参赛带来了一定困难。