已知概率密度求分布函数是积分的过程

0, x<0

1 F（x）= { x^2, 0<x<1

1, x>1

求X的密度函数？

解： 2x, 0<x<1

f(x)=F'(x)={

0, 其他

2 设随机变量X具有密度函数

x/6, 0<x<3

f(x)={ 2-x/2 3<x<4

0, 其他

求X的分布函数F(x)

解：

当x<0 时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=0

当0<x<3时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，x）f(t)dt=∫(0，x）t/6dt=x^2/12

当3<x<4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，3）f(t)dt+∫(3，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，x）(2-t/2)dt=-(x^2)/4+2x-3

当x>4时，F(x)=P(X<x)=∫(-∞，x）f(t)dt=∫(-∞，0）f(t)dt + ∫(0，3）f(t)dt∫(3，4）f(t)dt+∫(4，x）f(t)dt=∫(0，3）t/6dt+∫(3，4）(2-t/2)dt=1

即:

0, x<0

x^2/12, 0<x<3

F(x)={ -(x^2)/4+2x-3, 3<x<4

1, x>4

很简单易学， 当已知分布函数求密度时 只要对分布函数求导 ； 反之，已知密度积分即可求分布函数，但要记住，分布函数是个累计的过程，要积分完每个区间求和才可。

这个常数是需要验证的!

你倒过来想,已知分布函数(里面有常数),求概率密度,这个过程就是对分布函数微分对常数微分的结果是0

1,已知概率密度,求分布函数,这个过程是积分所以要F（x）=你以前求的的答案+常数C

2,然后根据题目要求,再计算常数C如题目里有隐藏条件（在两段概率密度之间是连续的、分布函数取无求大时=1等条件,确认C的值）这个C很容易漏掉

就说这么多,希望对你有所帮助

最后两行的条件应该交换，要明确联合分布函数的定义，F(x,y)=P[X≤dux,Y≤y]，也就是说要取遍负无穷到定义的区间，而负无穷到0之间概率密度为0，不用计算，所以是从0开始计的。

例如：

^已经求出

f(x,y)= 24y(1-x) 0≤x≤1，0≤y≤x

0 其他

根据定义，求得

①0≤x≤1,0≤y≤x时

F(X,Y)=12y^2(x-05x^2)

②0≤x≤1,x≤y

F(X,Y)=4x^3 - 3x^4

③1≤x,0≤y≤x

F(X,Y)=6y^2

④1≤x,x≤y

F(X,Y)=1

⑤其他

F(X,Y)=0

扩展资料：

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

-概率密度