什么是范数？向量的范数公式是什么

向量范数
定义1
设
,满足
1
正定性:║x║≥0,║x║=0
iff
x=0
2
齐次性:║cx║=│c│║x║,
3
三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数
可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数
常用向量范数有,令x=(
x1,x2,…,xn)T
1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得
║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根据范数的连续性来证明它由定理1可得
定理2设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则
║x(k)-x║→0(k→∞)
iff
xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)
→x(k→∞),或

三、
矩阵范数
定义2
设
,满足
1
正定性:║X║≥0,║X║=0
iff
X=0
2
齐次性:║cX║=│c│║X║,
3
三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4
相容性:
║XY║≤║X║║Y║
则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数
注意,
矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质因此定理1,2中向量的等价性和向量
序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设更有矩
阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的
定理3
设A是n×n矩阵,║║是n维向量范数则
║A║=max{║Ax║:║x║=1}=
max{║Ax║/║x║:
x≠0}
是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性
或者说是相容的
单位矩阵的算子范数为1
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数例如定义:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是
1-范数:║A║1=
max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=
,λ1是AHA的
最大特征值
∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外还有Frobenius范数:
它与向量2-范数相容但非向量范数诱导出的矩阵范数
四、
矩阵谱半径
定义3设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n称
为A的谱半径
谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数对任一矩阵范数有如下关系:
ρ(A)≤║A║
因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX两边取范数,由矩阵范数的
相容性和齐次性就导出结果
定理3矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)