什么是双曲函数

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义
双曲正弦
sh z ＝（ez－e－z）/2 （1）
双曲余弦
ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2）
双曲正切
th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3）
双曲余切
cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4）
双曲正割
sech z ＝1/ch z （5）
双曲余割
csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义
ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7）
双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
1、阻尼落体
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。
解：
小石块遵循的运动方程为
mdv/dt=mg―μv2 （8）
这是Riccati方程，它可以精确求解。
依标准变换方式，设
v=（m/μ）（z′/z） （9）
代入（8）式，再作化简，有
z'' ―(gμ /m)z=0 （10）
（10）式的通解是
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11）
其中，C1和C2是任意常数。
由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为
v（0）=0 （12）
这等价于
z′（0）=0 （13）
因此，容易定出
C2=－C1 （14）
将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得
满足初始条件的解
v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15）
图1：阻尼落体时速度和时间的关系
我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
2、导线电容
真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。
解：
设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。
我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：
由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。
以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为
φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）
=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16）
y
P
r2 r1
R2 ―λ +λ R1 x
O
a a
a2 a1
图2：带电导线与其镜像
式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为
φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17）
由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是
φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18）
故偶极线的等势面方程便为
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19）
式中
k2 =e4πε0φ/λ （20）
令
c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21）
则（19）式可化为
（x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22）
这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为
R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23）
这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：
a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24）
R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25）
a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26）
R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27）
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （29）
原来两导线表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （30）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）
利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为
x2+y2+ a2= 2a1 x （32）
x2+y2+ a2= ―2a2 x （33）
利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为
φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34）
φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35）
于是两导线的电势差便为
U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36）
用已知的量消去未知数，可以得出
U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37）
最后得出原来两导线为l一段的电容为
C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38）
单位长度的电容为
c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39）
利用反两曲余弦关系式
archx= In[（x+√x2―1）] （40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41）
最后一式可以在一般手册上查到。
3、粒子运动轨迹
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42）
式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。
解：
带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为
dp/dt=q（E+v×B） （43）
式中v是粒子的速度，p是粒子的动量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44）
本题运动方程的分量表示式为
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （45）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （46）
代入t=0时初始条件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （47）
定出积分常数后，可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 （48）
粒子的能量为
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （49）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50）
积分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51）
又由（48）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52）
积分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53）
或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55）
利用恒等变换公式
cosh2x―sinh2x=1 （56）
（55）式可以写成
x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57）
（57）式是一种悬链线。
图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹
讨论：
因双曲余弦泰勒级数展开式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58）
当v/c →0时，保留前2项，得
x=（qE/2m v02）y2 （59）
（59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c＜＜1，这也是牛顿力学的适用范围。
4、非线性方程求解
如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为
ux+uux+βuxxx=0 （60）
它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。
解：
考虑其行波解
u（x，t）=φ（ξ） （61）
其中，
ξ=kx－ωt+ξ0 （62）
KdV方程成为
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63）
记
f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0,
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67）
用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68）
其中，k、ω、ξ0为任意常数 。
（68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。
图4： KdV方程的孤波解
从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。
参 考 文 献
2、吕克璞、石玉仁等，《物理学报》，50（2001）2074。