初等函数的极限值 是直接带入吗 对初等函数有什么要求吗

1、一般的，初等函数的极限值是直接带入（可称代入法）。但是前提是这个初等函数在这一点连续。即

若f(x)在x=x0连续，则lim(x→x0)f(x)=f(x0)

可以说，连续函数在某点的极限值等于这点的函数值。

2、对初等函数也有上述要求。

由于初等函数在定义域的区间上是连续的，因此，求初等函数在x0

的极限值，只要x0属于定义域，且属于定义域的区间，那么可用代入法。

3、对于x/sinx，是初等函数，但是0不属于定义域，这函数在0无定义，且不连续。所以不能用代入法求x→0时f(x)的极限。但是发现它是不定式0/0型，虽然不能用极限四则运算的“商的极限等于极限的商”，但是我们可以用夹逼定理和罗必达法则求它的极限（等于1）。

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数

（无论它多么小），总存在正数

使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式

那么常数A就叫做函数f(x)当

时的极限，记作

扩展资料

函数极限的四则运算法则

设f(x)和g(x)在自变量的同一变化过程中极限存在，则它们的和、差、积、商(作为分母的函数及其极限值不等于0)的极限也存在，并且极限值等于极限的和、差、积、商。非零常数乘以函数不改变函数极限的存在性。

相关定理：夹逼定理

设L(x)、f(x)、R(x)在自变量变化过程中的某去心邻域或某无穷邻域内满足L(x)≤f(x)≤R(x)，且L(x)、R(x)在自变量的该变化过程中极限存在且相等，则f(x)在该自变量的变化过程中极限也存在并且相等。

函数在一点的极限是否存在与函数在该点是否有定义无关。举个简单的例子：f(x)=sinx / x，显然x=0处无定义，但是学过极限的话必然对lim<x→0>sinx / x = 1不陌生。1-sinx（x∈0，1）就没有极限。

函数极限存在的充要条件：

左右极限都存在且相等。左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。左极限与右极限只要有其中有一个极限不存在，则函数在该点极限不存在。

求极限基本方法：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的。

比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

你好！

这是不被允许的。

对于一个一般的一元函数，从正向接近一个点和负向接近一个点，如果极限值相等，并不意味着这个函数一定是连续的。那个被接近的点的当地的函数值务必等于这个极限值才能说函数连续。

对于你所提出的函数y=sinx，如果我们去一个极限lim（sin（x+dx）），运用和角公式，变形为lim（sinxcosdx+cosxsindx），如果dx趋近于0，并且x取0，sinx=0，sindx=0，cosx=1，cosdx=1，这个极限的确是0，而在x=0这一点函数也是0，所以函数是连续的。

希望对你有帮助！