请教关于曲面积分和曲线积分的奇偶性、对称性的问题

第一类曲面积分和第二类曲面积分利用对称性和奇偶性是不同的具体来说,当积分区域对称,而被积函数对某个积分变量是奇函数,那么对于第一类曲面积分结果是零,对于第二类曲面积分结果是倍数关系被积函数对某个积分变量是偶函数时,那么对于第一类曲面积分结果是倍数关系,对于第二类曲面积分结果是零

曲线积分是在同一个平面上线与线的封闭面积，就是形成了平面四边形;曲面积分是在一个由曲线积分形成的平面上，再进行体上的积分，就像杯子的底是由XY曲线积分形成，而它的杯子的上缘线就是Z的轨迹线，当然Z不一定是像杯子上缘线一样平行于底面。

曲线曲面积分还是按照物理含义理解比较好，几何含义的限制太大了，虽然视觉上直观，但不及物理的广阔。有的时候在三维上是找不到几何含义的，比如被积函数不是1的三重积分就没有几何意义,但四维上思考几何形状就超出了人的几何想象。曲面积分的物理意义简单的说第一类是光滑曲面型构件的质量，第二类是通过指定侧的流量。

二重积分,可以看做一个高函数f(x,y),在底面∑上的积分,所以他表示的是底面为∑的几何体的体积

三重积分,可以看做一个密度函数f(x,y),在几何体V上的积分,所以他表示的是几何体V的质量

第一类曲线积分,可以看做一个密度函数f,对曲线长度s的积分,所以他表示的是曲线s的质量

第二类曲线积分,可以看做一个变力f,对曲线切向的积分,所以他表示的是变力f沿曲线做的功

第一类曲面积分,可以看做一个密度函数f,对曲面面积S的积分,所以他表示的是曲面S的质量

第二类曲面积分,可以看做一个磁场强度f,对曲面法向的积分,所以他表示的是的磁通量物理上形象的说,就是通过某个曲面的磁感线条数

二重积分：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

三重积分：

三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

相关内容解释：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D。

如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影；

设dS是积分曲面Σ上的面积元素。

设Σ的方程为z=(x,y)，Σ在xOy平面上的投影区域D是有界闭区域，z=(x,y)在D上具有连续的偏导数，于是：

dS/(dxdy)=1/cosθ，θ是面积元素dS和坐标平面的夹角；

积分曲面Σ上任意一点的法向量为（∂z/∂x，∂z/∂y,-1）(注：〥表示求偏导数，〥z/〥x表示z对x偏导数，是整体符号，下同）,xOy平面的法向量取（0，0，1）；

于是1/cosθ=√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y）^2]；

所以dS=√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y）^2]dxdy，Σ上的点为（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)dS存在，且在积分曲面Σ上的曲面积分有：

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y）^2]dxdy

这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了。

而对于∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分，积分曲面可能需要同时向三个坐标平面

xOy,xOz,yOz投影,投影的方式和上面的方法一样。实际上如果面积元素dS与三个坐标平面的夹角分别为α，β，γ，则有dxdy=cosαdS;dxdz=cosβdS,dydz=cosγdS;

而α，β，γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成：

∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=∫∫[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosγ+R(x,y,z)cosβ]dS

在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性，即夹角的大小，在夹角大于π/2的时候，其余弦值是负的。

极坐标系里的二重积分r是指极坐标的极径，表示平面坐标点到原点的距离。在极坐标中求二重积分的注意事项：

1、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

2、为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为可得到二重积分在极坐标下的表达式：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy。在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。

函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域