若二元函数F在某平面区域D内对变量X是连续的，而对变量Y关于变量X是一致连续的，证明F在区域D内连续

直接按定义做就是了。

对D上的任何一点(x0,y0)，任取e>0，存在d1>0使得当|x-x0|<d1时|F(x,y0)-F(x0,y0)|<e/2，存在d2>0使得当|x-x0|<d1且|y1-y2|<d2时|F(x,y1)-F(x,y2)|<e/2。

取d=min{d1,d2}，则在(x0,y0)半径为d的邻域内任何的(x,y)都有

|F(x,y)-F(x0,y0)|<=|F(x,y0)-F(x0,y0)|+|F(x,y0)-F(x,y)|<e，

即F在(x0,y0)连续。

根据连续的定义去求啊，区间连续的定义是指任何一点都是（左右极限相等且等于该点的函数值），一般来说，先求导，如果导数是个初等函数（像一次函数，二次函数，正余弦函数等已被证明为连续函数），并能再说句此函数在该区间无函数值！=左极限=有极限，那么就证明该函数在此区间连续

x>1显然是连续的。

在x=1处：

limf(1-)=limx=1=f(1)

limf(1+)=1，所以limf(1-)=f(1)=limf(1+)，所以在在x=1处连续。

在x=0处：

f(0)=0

f(0-)=0

f(0+)=limx=0

f(0-)=f(0)=f(0+）

所以在在x=0处连续。

所以函数在(-∞,+∞)连续。

1。连续条件：在某点的左右极限相等

2。实际的应用

先判断是否有奇点（无意义点），在判断该点的左右极限是否相等

F(X)=1/(X+1) X＞-1

在定义域内无无意义点，连续

2。F(X)=X-1/X^2-4 -2<X<2

在定义域内无无意义点，连续

证明函数连续的条件：在开区间，左区间右连续，右区间左连续，在整个定义区间函数是连续的。函数连续：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于 自变量是连续变化的，连续函数在 直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线

1证明函数在整个区间内连续（初等函数在定义域内是连续的）

2先用求导法则求导，确保导函数在整个区间内有意义

3端点和分段点用定义求导

好的LZ

区间上的连续主要麻烦就是分段问题,如果单纯的连续只需要求导,发现是一次或者二次等简单函数就已经完事了

对于复杂函数,虚拟函数,多重分段函数,假设x=a

是它的一个分段点

譬如

f(x)=g(x)

(b,a]

f(x)=k(x)

(a,c)

这个分段函数

现在我们要证明他在x=a处连续

显然g(a)可以求出

那么重点是x>a时

k(x)的问题

那么我们假设k(x)可以取

x=a

(严格来说,是趋近于x=a)

考察

x→a

对应k(x)→k(a)

(注意不可以写等号!)

如果k(a)=g(a)

则称f(x)在x=a处连续

类似上面这样,就是证明右边的左极限等于已知函数值,

当然根据实际题目需要也有证明左边的右极限等于已知函数值,或者左边的右极限等于右边的左极限等等

设x0为任意点，只要证明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左极限=右极限=函数值）。

证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0)，闭区间还需要证明在端点处单侧连续。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的。

又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

反函数连续性：

如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f-1也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续。

证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。

设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数g(x)=x，显然g(x)的反函数就是它本身。

由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。

①若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。

于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1<x0<x2的两点（前提是x1、x2落在D内），根据f的连续性可知开区间(x1,x2)内的所有x（包括x0）都满足|x-x0|<ε。

求该点的左极限与右极限，若左极限、右极限都存在且相等则该点连续。

根据连续的定义，若f(x)在x->x0时的极限等于f(x0)，则f(x)在x=x0处连续。

求该点的导数，若该点可导则该点连续。当然该点是否可导也需要进行判断。