对数函数求导公式推导过程

用的是极限中的一个结论：x趋近于0时ln(1+x)和x是等价无穷小。

h趋近于0时，ln(1+h/x)和h/x是等价无穷小。

例如:

对数函数的推导需要利用反函数的求导法则

指数函数的求导，定义法：

f(x)=a^x

f'(x)=lim(detaX->0)[(f(x+detaX)-f(x))/detax]=lim(detaX->0)[(a^(x+detaX)-a^x/)detax]=(a^x)

(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h

=lim(h->0)[loga(x+h)-logax]/h

=lim(h->0)1/hloga[(x+h)/x]

=1/xIna

扩展资料：

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）

-对数函数

根据定义用极限进行推导：

例如x^2的导数，根据定义：

lim(dx-->0)[(x+dx)^2-x^2]/dx=lim(dx-->0)[2xdx+dx^2]/dx=lim(dx-->0)2x+dx=2x。

其它的类似，自己试着推一推。

相关介绍：

所谓初等函数就是由基本初等函数经过有有限次的四则运算和复合而成的函数。初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。

基本初等函数包括以下几种： 

（1）常数函数y = c（ c 为常数）。

（2）幂函数y = x^a（ a 为常数）。

（3）指数函数y = a^x（a>0, a≠1）。

（4）对数函数y =log(a) x（a>0, a≠1，真数x>0）。

（5）三角函数。

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

　　1y=c(c为常数)

y'=0

　　2y=x^n

y'=nx^(n-1)

　　3y=a^x

y'=a^xlna

　　y=e^x

y'=e^x

　　4y=logax(a为底数，x为真数)

y'=1/xlna

　　y=lnx

y'=1/x

　　5y=sinx

y'=cosx

　　6y=cosx

y'=-sinx

　　7y=tanx

y'=1/cos^2x

　　8y=cotx

y'=-1/sin^2x

　　9y=arcsinx

y'=1/√1-x^2

　　10y=arccosx

y'=-1/√1-x^2

　　11y=arctanx

y'=1/1+x^2

　　12y=arccotx

y'=-1/1+x^2

　　13y=u^v

==>

y'=v'

u^v

lnu

+

u'

u^(v-1)

v

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

　　2y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

　　证：1显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

　　2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到

y=e^x

y'=e^x和y=lnx

y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

　　3y=a^x,

　　△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

　　△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

　　如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β)。

　　所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

　　可以知道，当a=e时有y=e^x

y'=e^x。

　　4y=logax

　　△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

　　△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

　　因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有

　　lim△x→0△y/△x＝logae/x。

　　可以知道，当a=e时有y=lnx

y'=1/x。

　　这时可以进行y=x^n

y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1)。

　　5y=sinx

　　△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

　　△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

　　所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

　　6类似地，可以导出y=cosx

y'=-sinx。

　　7y=tanx=sinx/cosx

　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　8y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

　　9y=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　10y=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　11y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

　　12y=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　13联立：

　　①(ln(u^v))'=(v

lnu)'

　　②(ln(u^v))'=ln'(u^v)

(u^v)'=(u^v)'

/

(u^v)

　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

　　4y=u土v,y'=u'土v'

　　5y=uv,y=u'v+uv'

导数是函数的局部性质。以下是我整理的初中三角函数导数公式及推导过程，供参考。

三角函数的导数公式

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=sec²x

(cotx)'=-csc²x

(secx)' =tanx·secx

(cscx)' =-cotx·cscx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

导数公式的推导过程

设f(x)=sinx；(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx－sinx)/dx，因为dx趋近于0，cosdx趋近于1，(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx，根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一，(f(x+dx)-f(x))/dx＝cosx，即sinx的导函数为cosx。

同理可得，设f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx－sinx)/dx，因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx，根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x+dx)-f(x))/dx＝-sinx即cosx的导函数为-sinx。

运用导数公示和极限的方法进行推导。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值。

都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

1、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2、函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3、极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

是由‘导数’的定义和通过‘极限’的运算等推导出来的：

设函数f(x)在x处连续可导，则f(x)在x处的导数df(x)/dx为：

df(x)/dx = lim(△x->0) [f(x+△x)-f(x)]/△x

举例：

1，f(x)=x^2 df(x)/dx = lim(△x->0) [(x+△x)^2 - x^2]/△x

= lim(△x->0) (2x+△x)

= 2x

2，f(x)=sin x df(x)/dx = lim(△x->0) [sin(x+△x) - sinx]/△x

= lim(△x->0) [sinx cos△x+cosx sin △x - sin x]/△x

= lim(△x->0) (cosx sin △x)/△x (sin△x 与△x为等价无穷小，比值为1)

= cos x

3，利用已知的公式求导，应用洛必达法则求导，利用函数变换来求导，等等。

哦，我觉得，可能编写词条的人这样考虑的：

这里面使用到了二项式定理。二项式定理中，n为整数，所以

((x^n)'=nx^(n-1))

lim((x+⊿x)^n-x^n)/⊿x

=(x^n+C(1,n)x^(n-1)⊿x+C(2,n)x^(n-2)⊿x^2+-x^n)/⊿x

=C(1,n)x^(n-1)+C(2,n)x^(n-2)⊿x+

=nx^(n-1)+C(2,n)x^(n-2)⊿x+

当⊿x趋向0时，后面均为无穷小，所以

((x^n)'=nx^(n-1))

当n为整数是是成立的，n不为整数。（前面有组合数）。就需要另行讨论。

但是，其实，

二项式定理对于分数也是可以计算的。（无实际意义）在级数中经常用到

个人觉得可以推广到n为任意实数的一般情况

PS:组合数 (2,1/3)=1/3(1/3-1)/(21)=-1/9

任然使用C(m，n）=P(m，n）/P(m，m）

个人见解。无严格证明