多元函数求极值的方法总结

多元函数求极值的方法总结如下：

1F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。

2FxxFyy和FxyFyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。

二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：

1f'(x)=0,找出驻点。

2f''(x)判断，驻点是否为极值。  

设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又  

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

令

f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,

f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,

f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,

则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;

(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;

(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值

是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定

在函数 f ( x , y ) 的驻点处

如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且

当 f xx <0 时有极大值 ,  

当 f xx >0 时有极小值。

这题不难呀就是麻烦，记得高数上有类似例题的

fx=12x^2+12xy+3y^2-3=0

fy=6x^2+6xy=0，可得驻点为(0,1)、(-1,1)、(0,-1)、(1,-1)

fxx=24x+12y，fxy=12x+6y，fyy=6x

在点(0,1)处，AC-B^2=-36<0，所以f(0,1)不是极值

在点(0,-1)处,AC-B^2=-36<0，所以f(0,-1)不是极值

在点(-1,1)处,AC-B^2=36>0，且A=-12<0，所以在(-1,1)处函数取得极大值f(-1,1)=2

在点(1,-1)处,AC-B^2=36>0，且A=12>0，所以在(1,-1)处函数取得极小值f(-1,1)=-2

1这一道多元函数求极值的问题，λ前面有没有负号，都是一样的。λ仅是一个待定的系数，同样，-λ也是一个待定的系数而已。

2、上图我对这一道多元函数求极值的问题，λ前面有没有负号，做了，可以看出两种都是一样的。

具体的这一道多元函数求极值的问题，λ前面有没有负号，结果都是一样的详细说明见上。