请问 指数函数 对数函数 幂函数 的概念分别是什么 急用 谢谢！！

这3个函数的确是很重要的，特别是你到大学就是常和这3个函数打交道啊

指数：就是a的x次，其中X是大于0的书，x是变量，a是一个常数

对数:简单的说就是有log的

幂函数就是x的a次，其中，X是变量，a是不变量！OK!掌握这些就可以了啊！下次你们还将接触到幂指函数！

指数函数 与幂函数 可以解决指数式大小比较 指数函数解同底,幂函数解决同指

比较大小主要有三种方法：法1 利用函数单调性

法2 图像法

法3 借助有中介值 -1 0 1

高考中主要考 法1 法3

同底数的指数函数和对数函数，是一对反函数，幂函数定义是y=x^a的形式，恒过（1，1）点，指数函数定义域R值域大于0的实数，对数函数定义域大于0值域是R，底数大于1是增函数，大于0小于1是减函数，幂函数指数大于0在其定义域上的增函数，指数小于0在各段定粻亥纲酵蕺寂告檄梗漏义域上是增函数。

 lny=loge y

表求以loge为底

对数的运算法则

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

一、指数函数

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。

二、对数函数

对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。

三、幂函数

一般地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。

幂函数是双曲线，一般都是U或倒U,一个X对应一个Y值，一个Y值对应一对成相反数的X1、X2值。

指数函数和对函数的图像都是单曲线，一个X值对应唯一的Y值，一个Y值对应唯一的X值。

指数函数的公共点在y轴的正负1上，其y值不为0

对数函数的公共点在x轴的正负1上，其x值不为0

够详细了 加油指数函数，幂函数都比较好理解，而对数函数相对难懂一些，所以应花更多的时间掌握对数函数的概念

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数

由定义知：

①负数和零没有对数;

②a>0且a≠1,N>0;

③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b

特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

3对数的运算性质

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN

(2)logaMN=logaM-logaN

(3)logaMn=nlogaM (n∈R)

问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0

②logaan= (n∈R)

③对数式与指数式的比较(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

b—

N—a—对数的底数

b—

N—运

算

性

质am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1

理由如下：

①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28�

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数�

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数�

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数�

解题方法技巧

1 (1)将下列指数式写成对数式：

①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5�73

（2）将下列对数式写成指数式：

①log1216=-4；②log2128=7；

③log327=x；④lg001=-2；

⑤ln10=2303；⑥lgπ=k

解析由对数定义：ab=N�logaN=b

解答(1)①log5625=4②log2164=-6

③log327=x④log13573=m

解题方法

指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N�logaN=b(2)①12-4=16②27=128③3x=27

④10-2=001⑤e2303=10⑥10k=π

2 根据下列条件分别求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1

解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=

(2)log5x=20=1 x=

(3)31+log32=3×3log32=27=x

(4)2+3=x-1=1x x=

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14

(2)log5x=20=1，x=51=5

(3)logx27=3×3log32=3×2=6，

∴x6=27=33=(3)6,故x=3

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3

解题技巧

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化

②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n3

已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值

解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值�

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1

解题技巧

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算4

设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢能否对已知的等式两边也取对数

解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1)

令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1)

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t

解题规律

对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解

∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞)

5 求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;

(4)求7lg20·12lg07的值

解析(1)25=52,50=5×10都化成lg2与lg5的关系式

(2)转化为log32的关系式

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢

(4)7lg20·12lg07是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，

设x=7lg20·12lg07能否先求出lgx，再求x

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),

∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0

∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0

若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）

∴ab=4,

∴log2a-log2b=log2ab=log24=2

(4)设x=7lg20·12lg07,则

lgx=lg20×lg7+lg07×lg12

=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)

=lg7+lg2=14,

∴x=14, 故原式=14

解题规律

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3)

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4)6

证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数

(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数

解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca∴logaN=logcNlogca

(2)由(1)logbc=logaclogab

所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac

(3)由(1)logab=logbblogba=1logba

解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab

7 已知log67=a,3b=4,求log127

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢

解答已知log67=a,log34=b,

∴log127=log67log612=a1+log62

又log62=log32log36=log321+log32,

由log34=b,得2log32=b

∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b

∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b

解题技巧

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧�8

已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p最接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x

解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z又想，对于指数式能否用对数的方法去解答

解答（1）解法一3x=4y�log33x=log34y�x=ylog34�2x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm，ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4

由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316

(2)∵2=log39<log316<log327=3,

∴2<p<3

又3-p=log327-log316=log32716,

p-2=log316-log39=log3169,

而2716<169,

∴log32716<log3169,∴p-2>3-p

∴与p最接近的整数是3

解题思想

①提倡一题多解不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢

②(2)中涉及比较两个对数的大小这是同底的两个对数比大小因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，

∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,

所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，

故12y=1z-1x

解法二3x=4y=6z=m，

则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，

③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y

∴1z-1x=12y

9 已知正数a,b满足a2+b2=7ab求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1)

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab

解答logma+b3=logm(a+b3)212=

解题技巧

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一

②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二12logma+b32=12logma2+b2+2ab9

∵a2+b2=7ab,

∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),

即logma+b3=12(logma+logmb)

思维拓展发散

1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系设真数N=a×10n其中N>0,1≤a<10,n∈Z这就是用科学记数法表示真数N其科学性体现在哪里我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga真数与对数有何联系

解答lgN=lg(a×10n)=n+lgan∈Z,1≤a<10，

∴lga∈〔0,1)

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0

小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同

师生互动

什么叫做科学记数法？

N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

2 若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0�380 4，且lg0203 4=1308 3,求lgx,x,lg1x的值 解析①lg0203 4=1�308 3,即lg0203 4=1+0308 3，1是对数的首数，0308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出

解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0380 4)

又lg1x=-lgx=-(n+lga),

∴(n-9)+(lga+0�380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0�380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：

n-9=-(n+1)

lga+0380 4=1-lga�n=4,

lga=0308 3

∴lgx=4+0308 3=4308 3,

∵lg0203 4=1308 3,∴x=2034×104

∴lg1x=-(4+0308 3)=5691 7

解题规律

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法3

计算：

(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);

(2)2lg(lga100)2+lg(lga)

解析(1)中2+3与2-3有何关系2+3+2-3双重根号，如何化简

(2)中分母已无法化简，分子能化简吗

解题方法

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

=-1+12log6(4+22+3·2-3)

=-1+12log66

=-12

(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2

4 已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小

解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式

解答设log2x=log3y=log5z=m<0则

x=2m,y=3m,z=5m

x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m

下面只需比较2与33,55的大小：

(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33

又(2)10=25=32,(55)10=52=25,

∴2>55

∴55<2<33 又m<0,

图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1�

解题规律

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化

②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较�

①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z

潜能挑战测试

1(1)将下列指数式化为对数式:

①73=343;②14-2=16;③e-5=m

(2)将下列对数式化为指数式：

①log128=-3;②lg10000=4;③ln35=p

2计算：

(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52

3(1)已知lg2=0301 0，lg3=0477 1，求lg45;

(2)若lg3127=a，求lg0031 27

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()

A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()

A若log63=0673 1，log6x=-0326 9, 则x为()

A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=

98log87·log76·log65=

10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为

11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6)已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量

12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小

13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2

14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)

15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠�，M�｛x|x<0｝，求实数a的取值范围

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3840=0584 3,则lgN=

17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%(lg2=03, lg3=048)

18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长104%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=

对数函数的历史：

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为

Nap．㏒x=107㏑(107/x)

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=271828为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=03010中，2叫「真数」，03010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。