欧拉回路

欧拉回路 (1) 图的深度优先遍历

#include 
using namespace std;
int Node, Edge, Node1, Node2;
struct List_Node {
	int Node, Next;
	List_Node() {
		Node = 0;
		Next = 0;
	}
	List_Node(int node, int next) {
		Node = node;
		Next = next;
	}
};
List_Node List[1005];
int Head[105];
int New = 1;
void Insert(int Node1, int Node2) {
	List[New] = List_Node(Node2, Head[Node1]);
	Head[Node1] = New;
	New++;
}
bool Visited[105];
void DFS(int StartId) {
	Visited[StartId] = true;
	cout << StartId << ' ';
	for (int i = Head[StartId]; i != 0; i = List[i].Next) {
		if (Visited[List[i].Node] == false) {
			DFS(i);
		}
	}
}
void Search() {
	for (int i = 1; i <= Node; i++) {
		if (Visited[i] == 0) DFS(i);
	}
}
int main() {
	cin >> Node >> Edge;
	for (int i = 1; i <= Edge; i++) {
		cin >> Node1 >> Node2;
		Insert(Node1, Node2);
		Insert(Node2, Node1);
	}
	Search();
	return 0;
}

时间复杂度分析

每一个顶点被访问一次

每条边被访问两次

O(|V|+|E|)

O(|V|²) 对稠密图 |E|~|V|²

O(|V|) 对稀疏图 |E|~|V|

注意：

爆栈问题

(2) 应用举例——欧拉路 (一笔画) 问题 定义

欧拉路或欧拉回路问题，
就是有一条路径(或回路)由所有边构成，且每边只用一次。也称为一笔画问题，即连续的一次画出图的所有边，经过每条边一次且仅一次。

结论1：无向图存在欧拉回路的必要条件：

• 图是连通的。
• 图中所有点的度均为偶数。

结论2：无向图欧拉路存在的必要条件：

• 图是连通的。
• 图中有且仅有两个度为奇数的点，并且这两个点一定是这条欧拉路的起点与终点。

证明

• “勇往直前”
• “圈套圈”
• 把欧拉回路构造出来

结论3：有向图G，存在欧拉回路的必要条件：

• 基图（原有向边改为无向边后所得的无向图）连通
• 所有点的出度和入度相同

结论4：有向图G，存在欧拉路的必要条件：

• 基图连通
• 有且仅有一个点入度比出度大1，且这个点是欧拉路的终点
• 有且仅有一个点入度比出度小1，且这个点是欧拉路的起点
• 其他所有的点入度与出度相等

无向图的邻接矩阵递归程序

#include 
using namespace std;
int Node, Edge, Node1, Node2;
bool Graph[105][105];
void DFS(int Now_Node) {
	for (int i = 1; i <= Node; i++) {
		if (Graph[Now_Node][i] || Graph[i][Now_Node]) {
			Graph[Now_Node][i] = 0;
			Graph[i][Now_Node] = 0;
		}
	}
	printf("%d ", Now_Node);
}
int main() {
	scanf("%d%d", &Node, &Edge);
	for (int i = 1; i <= Edge; i++) {
		scanf("%d%d", &Node1, &Node2);
		Graph[Node1][Node2] = Graph[Node2][Node1] = true;
	}
	DFS(1);
	return 0;
}