FRM1 P1B1P1B2 整理笔记

FRM_1 Foundations of Risk Management 风险管理基本概念 风险管理的四种策略：

1. Retain：保留符合risk appetite的风险，不做处理
2. Avoid：不进行原有风险业务
3. Mitigate：利用投资话组合缓释风险；例：marking to market
4. Transfer：通过保险等将风险转嫁给第三方

风险对冲

1. 风险对冲无法降低交易费用

公司风险管理结构 Board of directors （董事会）

• 制定清晰的商业战略
• 制定并批准风险偏好（并不是高管负责）

CRO （首席风险官）

• 是执行风险管理工作的最高负责人
• 负责日常履行风险管理职能
• Calculate & review VaR 首席风险官需要每日计算、审查在险价值
• 监管风险指标、风险报告，包括损失、特殊事件、关键风险敞口、预警指标
• 开发数据分析系统，负责数据管理能力以支持风险管理计划
• 开展scenario analysis

Risk management committee （风险管理委员会）

• 制定适当的风险衡量和管理政策
• 对业务部门内的风险限制、风险权限等进行详细审查
• 制定 risk management strategy

Audit （审计）

• 确保公司在财务问题上 “compliance with best-practice standards”

Risk advisory director （风险咨询董事）

• 为公司的 best practice of corporate governance 与行业的 risk management 提供建议

理论模型：MPT Markowiz有效市场理论 Modern Portfolio Theory 模型的理论假设

1. 市场是完美的
   1. 没有交易成本，没有税收
   2. 所有参与交易的人都可以零成本即刻获得所有市场信息
   3. 完全竞争市场
2. 收益呈指数分布

Utility Theory

1. 公式： U = E ( R ) − 1 2 A σ 2 U=\mathrm{E}(R)-\frac{1}{2} A \sigma^{2} U=E(R)−21​Aσ2

2. 图像：Indifference Curve（无差异曲线）

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   说明：曲线越陡峭，说明投资者对于风险的厌恶程度越高；曲线相对越高，其效用越高。
   

   
   

Efficient Frontier

1. 有效前沿

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iPacoKsx-1648540741619)(FRM_1%204012f/Untitled%201.png)]

   说明：当市场上有无数个资产组合时，就形成了有效前沿，有效前沿上的每一个点都代表了一个最有效的投资组合。
   

   
   

2. Optimal portfolio selection

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3glCLxUp-1648540741623)(FRM_1%204012f/Untitled%202.png)]

   说明：投资者应当选择无差异曲线与其无差异曲线相切的投资组合。
   

   
   

   而由indifference curve可知，投资人的风险厌恶越高，曲线上陡的程度越大，切点越靠左。
   

   
   

   极端地说，当投资人为极端风险厌恶，其indifference curve为竖直的，则投资组合应该在最左侧。
   

   
   

理论模型：CAL & CML Capital Allocation Line (CAL) 资产配置线

1. 由于考虑了无风险资产，而 Markowitz 只考虑了风险资产，因此 CML 能在相同波动率下获得更高的预期收益。
   

   
   

2. 模型假设：承接Markowitz的所有假设。
   

   
   

3. 公式： E ( R p ) = R f + E ( R i ) − R f σ i σ p E\left(R_{p}\right)=R_{f}+\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\sigma_{i}} \sigma_{p} E(Rp​)=Rf​+σi​E(Ri​)−Rf​​σp​

4. 图像

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   说明：最优的投资CAL（至少）是与无差异曲线相切的，它满足了投资者的投资需求；最优的风险组合（最多）应当是与有效前沿相切的，它是先有的资产组合中最好的一条曲线。
   

   
   

   因此最优的CAL应当与这两条曲线分别相切。
   

   
   

Capital Market Line (CML) 资产市场线

1. 模型假设：CAL的假设+所有投资者都有同质化预期；

2. CML相当于令CAL中的资产为Market Portfolio；

3. 公式： E ( R i ) = R f + E ( R m ) − R f σ m σ i E\left(R_{i}\right)=R_{f}+\frac{E\left(R_{m}\right)-R_{f}}{\sigma_{m}} \sigma_{i} E(Ri​)=Rf​+σm​E(Rm​)−Rf​​σi​；

   )

4. 由公式可知，CML中的切线斜率即为Sharpe Ratio，斜率的大小反映了市场风险溢价和市场组合的波动性；

5. Two-fund Separation Theorem：由上图CAL图片中可知，当考虑CML时，CML与有效前沿相切得到的投资组合P就是最有效的（风险）投资组合。
   

   
   

   因此不管是什么样的投资者都会选择在这一条CML上进行投资。
   

   
   

   只不过根据其无差异曲线的不同，其相切所得到的切点C是不同的，也就是其分配的风险资产和无风险资产的比率不同。
   

   
   

理论模型：CAPM & SML 模型假设

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系统性风险与非系统性风险

1. 系统性风险：

   1. 系统性风险/市场风险/不可分散风险；
   2. 投资者对系统性风险的承担会收到回报。
      

      
      

2. 非系统性风险：

   1. 非系统性风险/specific risk/idiosyncratic risk
   2. 可以通过分散化投资减少；
   3. 投资者不会因为承担该风险获得回报；
   4. 当组合充分分散，系统性风险趋近于0

3. 系统性风险衡量指标 ：

   1. 公式： β i = Cov ⁡ ( R i , R m ) σ m 2 = ρ i , m σ i σ m \beta_{i}=\frac{\operatorname{Cov}\left(R_{i}, R_{m}\right)}{\sigma_{m}^{2}}=\rho_{i, m} \frac{\sigma_{i}}{\sigma_{m}} βi​=σm2​Cov(Ri​,Rm​)​=ρi,m​σm​σi​​ ；

4. 理解：对于某资产 i 的定价，应当等于无风险收益率+超额风险的回报率。
   

   
   

5. CAPM模型计算出的价格是为了 compensate for the systematic risk；

Security Market Line

1. 含义：CAPM 的图象

2. 图象

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kPnHBYjm-1648540741636)(FRM_1%204012f/Untitled%205.png)]

3. 当市场均衡，正确定价时，所有的资产应当都在 SML 上。
   

   
   

   因此也可以用 SML 判断市场是否被正确定价。
   

   
   

   可以认为 SML 是价格，图中 A，B，C 三点是实际价值。
   

   
   

   因此 A 正确定价；B 被高估，应当卖出；C 被低估，应当买入。
   

   
   

4. SML与CML比较

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-lYhUsKeH-1648540741640)(FRM_1%204012f/Untitled%206.png)]

理论模型：Measurement Sharpe Performance Index

1. 公式： S P I = E ( R i ) − R f σ i S P I=\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\sigma_{i}} SPI=σi​E(Ri​)−Rf​​；
2. 夏普比率衡量的是承担总体风险的回报；
3. 夏普比率中的E(Ri) **可以用CAPM进行计算。
   

   
   

Treynor Performance Index (TPI)

1. 含义： 对于某投资组合承担单位beta（系统性风险）所带来的回报率；
2. 公式： T P I = E ( R i ) − R f β i T P I=\frac{E\left(R_{i}\right)-R_{f}}{\beta_{i}} TPI=βi​E(Ri​)−Rf​​
3. Sharpe Ratio 由于分母是总体风险，因此既可以评估充分分散化投资组合，也可以评估未分散的投资组合；而 Treynor Ratio由于分母是系统性风险beta，无法捕捉到非系统性风险，因此只能用此评估充分分散化的投资组合。
   

   
   

Jenson Alpha

1. 公式：  Jenson’  α = R p − { R f + β [ E ( R m ) − R f ] } \text { Jenson' } \alpha=R_{p}-\left\{R_{f}+\beta\left[E\left(R_{m}\right)-R_{f}\right]\right\}  Jenson’ α=Rp​−{Rf​+β[E(Rm​)−Rf​]}；
2. 记忆：风险债券收益率-CAPM

Active Management: Alpha, Tracking Error & Information Ratio

1. 公式
   1. Alpha： R p − R B M K R_p-R_{BMK} Rp​−RBMK​；
   2. Tracking Error： T E = σ α = σ R P − R B M K TE=\sigma_\alpha=\sigma_{R_P-R_{BMK}} TE=σα​=σRP​−RBMK​​ ;
   3. Information Ratio： I R = A v e r a g e A c t i v e R e t u r n T r a c k i n g E r r o r = α σ α IR=\frac{AverageActiveReturn}{Tracking Error}=\frac{\alpha}{\sigma_\alpha} IR=TrackingErrorAverageActiveReturn​=σα​α​；
2. 说明
   1. TE 与 IR 都是以基准组合为依据，衡量投资组合风险回报的指标；
   2. TE 衡量承担了多少的主动风险；IR 衡量了承担一单位的主动风险所获得的收益；

Sortino Ratio

1. 公式： S R = R p − R B M K 1 N Σ t = 1 N min ⁡ ( 0 , R p t − R B M K ) 2 S R=\frac{R_{p}-R_{B M K}}{ \sqrt{\frac{1}{N} \Sigma_{t=1}^{N} \min \left(0, R_{p t}-R_{B M K}\right)^{2}}} SR=N1​Σt=1N​min(0,Rpt​−RBMK​)2 ​Rp​−RBMK​​ ;
2. 只衡量半波动率

理论模型：APT & Multifactor APT

1. 公式： E ( R p ) = R f + β p , 1 λ 1 + ⋯ + β p , k λ k E\left(R_{p}\right)=R_{f}+\beta_{p, 1} \lambda_{1}+\cdots+\beta_{p, k} \lambda_{k} E(Rp​)=Rf​+βp,1​λ1​+⋯+βp,k​λk​ ;
2. 假设：不存在套利机会（APT唯一一个假设条件）；
3. 说明：
   1. 投资者可以充分分散化投资稀释非系统性风险，故资产回报可以被系统性风险完全解释（因此选择的风险敞口为beta）；
   2. 预期收益率是一系列风险因子的线性表达式；
   3. CAPM可以看作是APT模型的一个特例，即只考虑市场组合的风险溢价。
      

      
      

Fama- French Three Factors Model

1. Factors： Market index（MKT），firm size（SMB），book-to-market ratio（HML）；
2. 公式： E ( R i ) = R f + β i , M K T E ( R m − R f ) + β i , S M B E ( S M B ) + β i , H M L E ( S M L ) E\left(R_{i}\right)=R_{f}+\beta_{i, M K T} E\left(R_{m}-R_{f}\right)+\beta_{i, S M B} E(S M B)+\beta_{i, H M L} E(S M L) E(Ri​)=Rf​+βi,MKT​E(Rm​−Rf​)+βi,SMB​E(SMB)+βi,HML​E(SML) **；

ERM & Risk Aggregation Data Aggregation & Risk Reporting

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ERM

• Feature of ERM

  1. 关键词：全面、整体；
  2. Comprehensive and integrated，最小化波动，最大化收益；
  3. 自上而下推动，将整个机构视为entire portfolio。
     

     
     

• Traditional Risk Management vs. ERM

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yTTe9qKd-1648540741648)(FRM_1%204012f/Untitled%208.png)]

• Motivation, benefit & cost

  1. Motivation
     1. Top-to-bottom vertical vision
     2. Concentrations of wisk within the firm
     3. Thinking beyond the silo
     4. Risk retention decisioins
  2. Benefits
  3. Costs

• Five key ERM dimensions

  1. Targets: Enterprise goals
     1. Risk appetite
     2. Strategic goals
  2. Structure: How we organize ERM
     1. Governance framework
  3. Identificaiton & Metrics: How we measure enterprise risk
     1. Identify & measure
  4. ERM strategies: How we manage ERM
     1. Avoid
     2. Mitigate
     3. Transfer
  5. Culture: How we do things
     1. Enterprise 从公司层面达成共识
        • Enterprise thinking
        • Group /enterprise dynamics
     2. Group
        • Group thinking
        • Recruitment of individuals to a group
     3. Individual
        • Recruitment criteria
        • Mindset promoted by firm

• Scenario analysis（ 实施ERM的良好手段）

  • Dodd-Frank Act Stress Tests
  • Comprehensive Capital Analysis and Reviews

补充

1. ERM的建立是经年累月的一个长久过程（multi-year engagement），而不是一蹴而就的（at the initial of the program）；
2. 风险文化的外部指标：经济周期、行业事件、专业标准、监管标准；内部指标：公司问责制度、沟通制度、激励制度等；
3. 银行可以通过机器学习来处理大量的数据，与更为广泛的风险数据结合来分析风险文化的深入规律与预警信号，但是仅仅凭数据的收集是远远不够的；
4. Risk analysis 最后要给出明确结论，不可以是open ended；
5. 原先的independent departmental applications & methodologies 效果不好，被14 principals替代；

金融危机与其他金融风险事件 07~09 Financial Crisis

1. Haircut：融资资金额度与抵押物价值之差；当危机爆发时，haircut上升；
2. 评级机构对于结构化产品曾经进行评估，但由于错误使用历史数据、从发行人出获取数据、发行人出钱聘请评级公司等原因，其评级结果是有问题的；
3. 美联储为了增加流动性而使用的工具：
   • TAF: Term Auction Facility
   • PDCF: Primary Dealer Credit Facility
   • TARP: Troubled Dealer Relief Program

Other Financial Disasters

• LTCM 长期资本管理公司
  • 事件简介：高杆杆对冲基金，当发生亏损时敞口巨大；做多意大利国债，做空德国国债，后俄罗斯发生违约，flight to quality，导致巨额亏损；最终美联储主持收购注资救市；
  • Failing Factors：
    • Trading models：模型没有充分考虑极端市场情况（极端风险时，各个资产之间的相关性急剧上升）；
    • Liquidity Risks：没有考虑高杠杆影响（危机出现时，流动性迅速枯竭）；
    • Risk measurement models：VaR模型对于尾部风险评估不足等。
      

      
      

• London Whale 伦敦鲸
  • London Whale, JP Morgan在伦敦的分行；
  • 事件简介：Bruno Iksil 任职于摩根大通位于伦敦的首席投资室（Chief Investment Office，简称CIO）。
    

    
    

    市场普遍推测，2012年初，该交易员进行了大量不同期限品种的信用衍生品合约买卖交易，甚至参与了和多家对冲基金的对赌，押注企业信用环境未来将有所改善。
    

    
    

    2012年4月份以后，受欧债危机演变和全球经济复苏不佳等因素影响，金融市场动荡加剧，市场信用环境恶化，企业违约风险攀升，首席投资室的交易策略失败，在短短六周时间内交易亏损达到20亿美元，且亏损金额仍在不断扩大。
    

    
    

  • Failing Factors：
    • Model risk：CIO认为原先的VaR模型过于保守，高估了风险（置信度水平过高），因此降低了置信度修改了VaR，而这导致了更大的风险，增加了损失；
    • Corporate Governance：CIO的新VaR模型并没有被监管方OCC批准；
    • Operational Risk：JP采用容易出错的手动输入数据的方式，还有公式、计算错误等，导致VaR模型极不可靠。
      

      
      

• Metallgesellschaft 德国金属公司
  • 事件简介：MGRM，其专门从事石油交易的分公司签订了一个long-term fixed-price contract（10年远期空头），并且相应地通过购买短期石油期货多头进行对冲。
    

    
    

    由于对冲策略，市场由backwardation转向contango，滚仓成本升高，加上期货逐日盯市，流动性枯竭，造成大量损失。
    

    
    

  • 关键词：
    • 期限错配；
    • Short long-term forward+long short-term futures；
    • Stack & roll 滚期；
    • 存在子母公司沟通问题，双方会计记账要求不同，导致账面的亏损。
      

      
      

  • Failure Factors：
    • Curve risk：市场由backwardation转向了contango；
    • Hedging Strategies：即使看似吸引人的策略在市场情况发生改变时也可能带来不小的风险。
      

      
      

  • 德国金属公司Metallgesellschaft没有进行大量杠杆的 *** 作；
• Saving & Loan Crisis 美国储贷协会
  • 事件简介：储蓄贷款机构未能管理好自己的利率风险，当利率朝向不利方向波动时，行业遭受巨大损失，引发旷日持久的危机。
    

    
    

    最终由美国政府花费USD160million救市。
    

    
    

  • Lesson learned：
    • Asset liability Management：公司应当管理器资产负债表；
    • Duration Matching Tools：久期匹配，利率风险的敏感程度应当相同。
      

      
      

• Sachsen 萨克森地方银行
  • 事件简介：在都柏林专门进行MBS产品投资，然而MBS的AAA产品质量并不好。
    

    
    

    一开始公司获得大量利润，在金融危机爆发后，公司产生大量亏损。
    

    
    

    最终被Landsbank 收购。
    

    
    

• Barings, Nick Leeson 巴林银行
  • 事件简介：short straddle on Nikkei 224，后 double long in Nikker 225 futures.
• Orange County 橘子郡
  • 高杠杆投资复杂金融产品；
  • 投资交易员：Robert Citron；
  • 对自己所持头寸的风险一无所知，没有足够的风险管理知识对利率变化进行压力测试。
    

    
    

• Enron 安然
  • 管理层腐败，集体财务造假。
    

    
    

• Lehman Brothers 雷曼兄弟
  • US 房产泡沫导致次贷市场崩溃是Lehman Brothers破产倒闭的主要原因；
  • Lehman 短期融资巨额资金，投资到流动性差的房地产市场中，因此出现liquidity问题；
  • Lehman杠杆过高；
  • Barclays 与 Bank of America 等都曾经想收购 Lehman Brothers，但最终以失败告终，因此Lehman Brothers最终以倒闭收场；

Quantitative Analysis Probability & Statistics IQR (interquartile range)

• 定义: α 0.75 − α 0.25 \alpha_{0.75}-\alpha_{0.25} α0.75​−α0.25​；
• 即使变量严重肥尾分布，但是分位数也不受极端值影响，总是可以"robust to apply and well-defined"；
• IQR与标准差类似，反应都是观测值的离散程度（measure of dispersion）而不是中心趋势（central tendency）。
  

  
  

skewness与kurtosis

• Leptokurtic 尖峰， Platykurtic 矮峰；
• 要注意题目中给的是excess kurtosis还是kurtosis，例如题目中给到excess kurtosis=2.9761，非常tricky；
• 肥尾一般对应着尖峰。
  

  
  

Lognormal

• 对数正态，卡方分布与F分布的PDF图形相似，均为右偏，且以零为下界；
• 对数正态分布常用语对资产的价格进行建模。
  

  
  

常用特征数的计算

ρ ( a + b X , c + d Y ) = sgn ⁡ b sgn ⁡ d ρ ( X , Y ) Cov ⁡ ( a + b X , c + d Y ) = b d cov ⁡ ( X , Y ) skew ⁡ ( a X + b ) = sgn ⁡ a skew ⁡ ( X ) kurt ⁡ ( a X + b ) = kurt ⁡ ( X ) \begin{aligned}&\rho(a+b X, c+d Y)=\operatorname{sgn} b \operatorname{sgn} d \rho(X, Y) \&\operatorname{Cov}(a+b X, c+d Y)=b d \operatorname{cov}(X, Y) \&\operatorname{skew}(a X+b)=\operatorname{sgn} a \operatorname{skew}(X) \&\operatorname{kurt}(a X+b)=\operatorname{kurt}(X)\end{aligned} ​ρ(a+bX,c+dY)=sgnbsgndρ(X,Y)Cov(a+bX,c+dY)=bdcov(X,Y)skew(aX+b)=sgnaskew(X)kurt(aX+b)=kurt(X)​

评价统计量

• unbiased：统计量的期望与总体参数相同；
  • 一个无偏的估计量在经过线性运算后是无偏的，而经过非线性运算通常是有偏的。
    

    
    

    例如：通过无偏的协方差与方差计算的相关系数是有偏的；样本方差的估计量是无偏的，样本的标准差是有偏的。
    

    
    

  • 协方差与方差的计算无偏估计量时对应的自由度都是
• consistent：随着样本容量的增加，估计的准确性增加，抽样误差减少；
• efficient：在所有无偏统计量中，拥有更小的方差。
  

  
  

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

• 在所有线性、无偏估计的统计量中，方差最小的统计量；
• 比较的前提是线性、无偏，也就是要在"among all linear unbiased estimators"中确定方差最小的；
• 在非线性的估计量中可能存在更优的估计量。
  

  
  

Hypothesis Testing 置信区间

• 置信度相同时，t分布于正态分布有更宽的置信区间；
• Significance level 代表了观察值落在置信区间之外的概率；
• 有时在计算置信区间时，不能得到具体的数值区间，而只能计算区间长度。
  

  
  

  通过比较选项中的区间长度从而得到选项。
  

  
  

检验统计量

• 检验统计量(t-statistics/z-statistics) >关键值，拒绝原假设；

• T分布于F分布是常用于假设检验的分布，当检验两个均值是否相等时用t分布；如果想要检验模型整体(as a whole)是否具有解释力度，则应使用F-test；

• 题目中若提及大样本（一般而言）则有中心极限定理可认为该样本服从正态分布；

• 检验统计量的选择：

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Type I error & Type II error

• I 类错误在于拒真；二类错误在于存伪；

• 显著性水平的降低会减少I类错误，增加II类错误；

• 样本容量的减少会增加I类错误及II类错误。
  

  
  

• Power of the test：检验统计力，拒绝错误假设的概率。
  

  
  

  发生二类错误的概率为 **;

P Value

• 含义：拒绝原假设最小的显著性水平；
• 若 significance level > p，则拒绝原假设；

Jarque-Bera Test

• 假设检验，用来检验随机变量是否服从正态分布；
• H0：随机变量服从正态分布，偏度=0，峰度=3；

常用数据

• 双尾标准正态分布中，依赖因子及其对应的置信区间：

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NOIkA7YR-1648540741656)(FRM_1%204012f/Untitled%2010.png)]

Linear Regression 一元线性回归

1. β = cov ⁡ ( X , Y ) Var ⁡ ( X ) , α = Y − β X \beta=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\operatorname{Var}(X)}, \alpha=Y-\beta X β=Var(X)cov(X,Y)​,α=Y−βX;
2. R 2 = E S S T S S = T S S − R S S T S S R^{2}=\frac{E S S}{T S S}=\frac{T S S-R S S}{T S S} R2=TSSESS​=TSSTSS−RSS​，其含义为因变量有R2比例的内容可以被自变量解释 ;
3. 在一元线性回归中， ρ = R \rho=R ρ=R ；
4. R2的范围为[0,1]，而adj R2 可以为负,且adj R2定不大于R2；
5.  adj  R 2 = 1 − ( n − 1 n − k − 1 ) ( 1 − R 2 ) \text { adj } R^{2}=1-\left(\frac{n-1}{n-k-1}\right)\left(1-R^{2}\right)  adj R2=1−(n−k−1n−1​)(1−R2),其中n为样本容量，k为自变量个数；
6. 新变量的引入会使R2 与 adj. R2 增加，因此要判断一个变量是否统计显著只能通过假设检验；

多元线性回归

1. 例

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xhrMQbM3-1648540741660)(FRM_1%204012f/Untitled%2011.png)]

   • Intercept：B0，X1：B1，X2：B2 …；
   • 在比较时将各自变量的p值与与significant level比较（本题为5%）；
   • 总体统计量的表现程度在ANOVA表格中，例如计算R2以及判断F检验p value显著性等。
     

     
     

2. 回归时可能出现的问题：

   • Heteroskedasticity：异方差

     • 回归残差的方差会随着自变量的变化而变化；
     • 不会影响最小二乘法下的无偏性，但是会影响最小二乘法的一致性；

   • Multicollinearity：多重共线性

     • 多重共线性不会影响最小二乘法的无偏性；

   • Perfect collinearity：完全共线性/哑变量陷阱

     • 同时设出所有的哑变量再加上结局项就会导致问题，类似于“自由度”溢出，例：

       [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4In1BIgp-1648540741664)(FRM_1%204012f/Untitled%2012.png)]

     • 会导致严重问题，使得分母为零，计算机出错；

   • Omitted variables：遗漏变量

     • 会导致不满足无偏性与一致性；

模型的检验优化

1. GtS (Generate to Specific)
   • 基本思想：从具有较多变量的大模型入手，逐步剔除不显著的变量，直到所有的变量相关系数都显著为止，最终得到的模型不存在变量不显著的情况；
2. m-fold cross-validation
   • 利用样本外数据做模型检验，计算RSS最小的模型作为候选模型；

Dependences 各种相关系数

• 一元线性回归中，自变量因变量都标准化后，回归系数=相关系数；
• Kendal’s tau & Spearman’s correlation
  • Kendal’s tau 范围为[-1,1]，跟规模变化无关；
  • Spearman’s correlation & Kendal’s tau 只考虑随机变量的排序，不考虑随机变量本身的取值；因此对随机变量进行单调递增不会改变该数值，其对异常值不敏感；
• Pearson Correlation
  • 用于测量线性相关；
  • β = ρ σ Y σ X \beta=\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} β=ρσX​σY​​；
  • 线性相关系数在应用在异方差上没有区别；

Time Series White Noise

• 残差项 ε t \varepsilon_t εt​ 为 serially uncorrelated，无法得出 ε t \varepsilon_t εt​ 是独立白噪声；
• one-step-ahead forecast的残差为白噪声表明模型较优；

AR, MA, ARMA 模型与检验

• AR(1)

  • 含有参数 φ \varphi φ，当 ∣ φ ∣ < 1 |\varphi|<1 ∣φ∣<1 时协方差平稳；
  • AR模型的长期预测值与均值复归水平： 截 距 1 − 斜 率 \frac{截距}{1-斜率} 1−斜率截距​ ；
  • 体现了一个随机过程及其前一期的值之间的关系；

• MA(1)

  • 含有参数 θ \theta θ , 其对于任何取值都是方差平稳的；

• As time lag length increases:

  [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NRtW3mfV-1648540741668)(FRM_1%204012f/Untitled%2013.png)]

• Box-Pierce统计量

  • 检验ARMA模型，检验所有的残差项之间的自相关系数同时为0的原假设；
  • 其滞后项h不是越大越好，而应保持适中；

ACF&PACF

• ACF：自相关函数
  • 衡量时间序列某一组数据和滞后h期的数据之间的相关性；
  • ACF的绝对值越大，相关性越强；
• PACF：偏自相关函数
  • 衡量的是 y t , y t − τ y_t,y_{t-\tau} yt​,yt−τ​ 之间的自相关函数，且保持其之间的变量不变；

协方差平稳

• 期望值恒定、方差恒定、自协方差恒定，可以用历史数据预测未来样本的数据；

Random Walk

• 初始值Y0与各期的冲击对未来数值Yt有相同的权重；
• 任意一期冲击对于未来值都将产生永久影响；
• 随着时间推移，随机游走会变得越来越发散；
• ADF(Augmented Dickey-Fuller)假设检验：
  • H0： γ = 0 \gamma=0 γ=0（时间序列是随机游走）；
  • Ha： γ < 0 \gamma<0 γ<0 （时间序列是协方差平稳的）；

Time Trend

• 若时间序列有恒定增长率，则应当用log-linear trend而不是polynominal trend；
• 季节性应当通过哑变量进行体现；
• 季节性与时间趋势是非平稳的时间序列，其残差项不是白噪声；
• cycle是指排除季节性与时间趋势的其他波动性；

Monte Carlo & Boot Strapping Monte Carlo

• 输出结果的质量受到输入参数质量较大的影响；
• Monte Carlo模拟要依赖于某一分布，其分布可以是lognormal distribution等；
• 缺点为计算量大；
• 在模拟过程中，通过增加模拟次数减少标准误的计算成本较高；
• 误差减少方法：
  • Control Variables
    • 模拟一个更为熟悉的变量以减少误差；
  • Antithetic Variables
    • 构建与原先变量完全负相关的对偶变量；
• Data Generating Process （DGP）是进行Monte Carlo的一个步骤；

Bootstrapping

• Bootstrapping算法，指的就是利用有限的样本资料经由多次重复抽样，重新建立起足以代表母体样本分布的新样本。
  

  
  

  bootstrapping的运用基于很多统计学假设，因此假设的成立与否影响采样的准确性。
  

  
  

• Bootstrapping不对数据的分布进行假设；
• 当金融市场出现大型震动时，会极大程度影响模拟效果；
• 并不保证样本空间中的所有取值都会被抽到；

Application VaR

• 假设稀有事件服从伯努利分布；

• 实验总数为观测天数；

• 为稀有事件发生的概率；

• 例

  • Question:

    1-day 99% VaR. Assuming the model is correctly calibrated, and all exceedances are independent of each other, what is the probability that there are exactly six exceedances over a period of 250 trading days.

  • Answer:

    n = 250 , p = 1 − V a R = 1 % , X = 6 P ( X = 6 ) = C 250 6 ( 0.01 ) 6 ( 0.99 ) 244 = 2.75 % \begin{aligned}&n=250, p=1-V a R=1 \%, X=6 \&P(X=6)=C_{250}^{6}(0.01)^{6}(0.99)^{244}=2.75 \%\end{aligned} ​n=250,p=1−VaR=1%,X=6P(X=6)=C2506​(0.01)6(0.99)244=2.75%​

[

Portfolio

• 例

  • Question:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NYRNxSYX-1648540741672)(FRM_1%204012f/Untitled%2014.png)]

    ρ = 0.3 \rho=0.3 ρ=0.3

    What is the probability of the portfolio return is less than
    11.8%?

• Answer:

  • 计算单个资产的权重： ω A = 40000 40000 + 60000 = 0.4 , ω B = 0.6 \omega_{A}=\frac{40000}{40000+60000}=0.4, \omega_{B}=0.6 ωA​=40000+6000040000​=0.4,ωB​=0.6;

  • 计算投资组合标准差： σ p = ω A 2 σ A 2 + ω B 2 σ B 2 + 2 ω A σ A ω B σ B ρ = 15.2 % \sigma_{p}=\sqrt{\omega_{A}^{2} \sigma_{A}^{2}+\omega_{B}^{2} \sigma_{B}^{2}+2 \omega_{A} \sigma_{A} \omega_{B} \sigma_{B} \rho}=15.2 \% σp​=ωA2​σA2​+ωB2​σB2​+2ωA​σA​ωB​σB​ρ ​=15.2%

  • 计算投资组合期望收益率： R p = ω A R A + ω B R B = 8.6 % R_{p}=\omega_{A} R_{A}+\omega_{B} R_{B}=8.6 \% Rp​=ωA​RA​+ωB​RB​=8.6%

  • 此时该投资组合服从分布： R p ∼ N ( 8.6 % , 0.15 2 2 ) R_p\sim N(8.6\%,0.152^2) Rp​∼N(8.6%,0.1522)

  • 正态分布计算可得最终所求为： Z ( 0.21 ) = 58.32 % Z(0.21)=58.32\% Z(0.21)=58.32%