Introduction1.1：模糊投影几何学

我们都熟悉投影变换，当我们看一张图像的时候，我们看到的正方形不是正方形，我们看到的圆形不是圆形。这种映射平面图形到图片上的转换视映射转换的一个例子。

因此，视角变换后那些几何属性会被保留呢？很明显，形状不会，因为一个圆形会被看起来像是一个椭圆形，长度也不会，因为通过投影转换，一个圆的两个垂直半径会被不同成都的拉长。角度，距离，距离的比例，这些都不会被保留，并且，通过视角转换，那看起来很少的几何量会被保留。然而，一个属性会被保留下来，那就是真值度。 现在可以证明这是在映射条件下最具有泛化性的量，并且我们可以定义一个平面的视角转换，就像保持垂直显得那些映射点那样。

为了观察我们为什么需要投影几何学，我们从熟悉的欧几里得几何开始，这种几何描述了不同视角和不同形状的物体。欧几里得几何在一个主要方面是有问题的，在推理一些几何的基本观点时，我们需要做一个特例：例如对线的相交。（我们在这里思考2维的几何学）两条线几乎总会汇总到一个点，但是有些线也不会汇总到一个点，我们称其为平行线。一个对于这种平行线的语言表达可以表达为在无限处相交。然而，这不总是令人信服的，并且与另一个公理产生了冲突–无限是不存在的。我们可以通过在无线出增加点来强化欧几里得平面，来使得这个道理说通，并且通过称这些为理想点来解决这个难点。

通过在无限处增加这些点，熟悉的欧几里得空间被转换为一种新类型的几何物体，投影空间。 这是一个非常有用的思考，因为我们熟悉欧几里得空间的属性，包括例如距离，角度，点，线，发生率等概念。关于投影空间并不神秘，这是对于欧几里得空间的延展–两条线总是交汇于一个点，尽管在无限处会显得很神秘。

坐标系 一个二维空间的点是被一个真是数值的排列而表示为 ( x , y ) (x,y) (x,y)。我们可以对这个数对加入一个额外的坐标来表示这个同样的点 ( x , y , 1 ) (x,y,1) (x,y,1)，这看起来是没有问题的，因为我们可以从一个表征点到另一个表征点的移动，仅仅通过增加或者移除最后一个坐标。我们现在要进行一个很重要感知步骤，并且提出个问题：为什么最后一个坐标是需要为1–毕竟其他两个坐标是没有被这样限定的。为什么不设置为 ( x , y , 2 ) (x,y,2) (x,y,2)，这里我们定义 ( x , y , 1 ) (x,y,1) (x,y,1)和 ( 2 x , 2 y , 2 ) (2x,2y,2) (2x,2y,2)表示同一个点，并且更进一步的， ( k x , k y , k ) (kx,ky,k) (kx,ky,k)也代表同一个点，当然对于任何非0的k。正式上讲，点可以被相同类别的坐标三元组所表示，那么当他们可以通过一个乘子转化的时候就可以说他们是相等的。这就称之为点的齐次坐标。给定一个坐标三元组 ( k x , k y , k z ) (kx,ky,kz) (kx,ky,kz)，我们通过除 k k k来获得原始坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)。

读者可以观察到，机关 ( x , y , 1 ) (x,y,1) (x,y,1)和 ( x , y ) (x,y) (x,y)代表相同的点，但是没有与 ( x , y , 0 ) (x,y,0) (x,y,0)相等的点。如果我们尝试去通过最后一个坐标系来划分，我峨嵋你就会等到无穷处的点 ( x / 0 , y / 0 ) (x/0,y/0) (x/0,y/0)。这就是在无穷处的点产生的原因。这些点是通过最后一个坐标是0的齐次坐标系来表达的。

一旦我们观察到这对二维的欧几里得空间是如何表达的，我们可以通过齐次向量来表达点那样，来把这个延展到投影空间，很明显，我们可以在任何维度做同样的事情。==通过齐次向量的点的表达，欧几里得空间可以被延展到向量空间。==现在可以证明，在二维投影空间中无限远处的点可以形成一条线，通常称其为在无限远处的线。在三维空间中，其形成了无限处的平面。

同质性 在经典的欧几里得几何学中，所有的点都是相同的。并没有特别的点。所有的空间都是同质性的。当增加坐标的时候，一个个点看起来被从其本源处挑选了出来，然而，我们必须意识到，这仅仅是选取独特坐标框架下的一个特例。我们应该找到另外一种方法来定义这个平面，在这个平面中一个不同的点被认为是原点。事实上，我们可以考虑在欧几里得空间中转换坐标，通过转化轴并且旋转使其朝向另一个位置。我们可以从另外一个角度来思考这个问题：空间本身翻译，旋转到了另一个位置。 这种 *** 作的结果就被认为是一种欧几里得变换。

一种更加一般化的变换方法应用一种现行的变换到投影空间，然后接着通过欧几里得变换来移动到初始空间。我们可以思考这个作为空间移动，旋转，并且最终在不同的方向做不同比例的线性延展。这个结果就被称之为仿射变换。

我们可以通过观察在无限处的点是否停留在无限处， 来确定这个结果是通过欧几里得变换得到的还是通过仿射变换得到的。这种点在某种程度上被保留通过这类的变换，最少也会变为一个集合。他们在某些方面被挑选了出阿里，或者在欧几里得和仿射几何学中变得特别。

从投影学的角度看，在无穷远处的点和其他的点没有什么区别，就像欧几里得空间是一致的一样，投影空间也是一致的。通过对欧几里得和仿射变换的类比，我们可以定义一种投影空间的投影变换。在一种欧几里得空间中的线性变换可以表示为应用到特定点的坐标的矩阵乘法。在相同的方法中，一种投影空间中的投影变换是同质性坐标的空间映射，表达为一个点，在此坐标向量通过非单一的矩阵来表达。在此映射中，无限远处的点，映射到任意其他的点上。无限远处的点没有被保留。因此，投影空间上的投影变换被表达为一个同质坐标中的线性变换：
X ′ = H ( n + 1 ) × ( n + 1 ) X X'=H_{(n+1)\times(n+1)}X X′=H(n+1)×(n+1)​X

在计算机视觉的问题当中，投影空间被用来当作一个表达3d世界的方便的方法，通过延展它到3维的投影空间。相似的图像，通常形成通过投影现实的世界到一个2维的投影空间中。在现实世界中，并不存在在无限远处的点，并且，我们需要保持我们的手指触碰到虚拟的点，即为图像中无限远的线，和世界中无限远的面。对于此原因，即使我们通常工作在投影空间，线和面在某种程度上讲是很特殊的。这与纯投影几何是矛盾的，但是对于解决我们的实际问题是有用的。一般来讲，我们努力去通过两种方法去拥有它，1是通过在投影空间中对待所有的点都是一致的当他们符合我们的时候，2是在无限的空间或者平面中勾勒线条。