剑指offer 25. 剪绳子-java实现

小学奥数题 原题链接

给你一根长度为 n 绳子，请把绳子剪成 m 段（m、n 都是整数，2≤n≤58 并且 m≥2）。

每段的绳子的长度记为 k[1]、k[2]、……、k[m]。

k[1]k[2]…k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到最大的乘积 18。

代码案例：
输入：8
输出：18

题解(数学) O(n)

这道题目是数学中一个很经典的问题。
下面我们给出证明：

首先把一个正整数 N拆分成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。
假设 N=n1+n2+…+nk，并且 n1×n2×…×nk是最大乘积。

显然1不会出现在其中；
如果对于某个 i 有 5ni≥5，那么把 ni 拆分成 3+(ni−3)，我们有 3(ni−3)=3ni−9>ni 2 ni >9成立
如果 ni=4 ，拆成 2+2 乘积不变，所以不妨假设没有4；
如果有三个以上的2，那么 3×3>2×2×2 ，所以替换成3乘积更大；
综上，选用尽量多的3，直到剩下2或者4时，用2。

时间复杂度分析：当 n 比较大时， n 会被拆分成 ⌈n/3⌉ 个数，我们需要计算这么多次减法和乘法，所以时间复杂度是 O(n) 。

class Solution {
    public int maxProductAfterCutting(int n)
    {//小学奥数题
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1);//n 是>=2的，小与3的时候要拆成两份 这是边界条件
        int res = 1;
        if (n % 3 == 1){//拆出来两个2
            res *= 4;n -= 4;
        }
        else if (n % 3 == 2) {//拆出来一个2
             res *= 2; n -= 2;
        }
        while (n > 0){//经过两个if函数之后 n一定能被3整除 
            res *= 3; n -= 3;
        }
    return res;
    }
}