连续型随机变量分布函数区间端点能重复吗

1 随机变量的分布函数

2 连续型随机变量及其概率密度

3 重要的连续型随机变量分布

1 随机变量的分布函数

「背景」：对于非离散型的随机变量，其取值不能一一列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样使用分布律描述它。非离散型随机变量有很多种，其中「连续型随机变量」极其常见，因此我们重点研究连续型随机变量。对于连续性随机变量，在某个点的概率为，另外，实际中，对于元件的寿命，测量的误差等，研究其落在某个区间的概率更有意义，因此我们引出了随机变量的分布函数

「定义」：设是一个随机变量， 是任意实数，函数

则为的「分布函数」。

❝

虽然对于离散型随机变量，我们可以使用分布律来全面地描述它，但为了从数学上能够统一地对随机变量进行研究，因此，我们针对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。

❞

「性质」

是一个不减函数

❝

对于任意实数 ,有 成立

❞

，

，

, 即 是右连续的

用分布函数表示事件概率

❝

这里的表示 分布函数 在处理左极限。同理，表示 分布函数 在处理右极限 。

细心的同学也许注意到背景部分提到连续型随机变量在某一个点的概率为0，这里还整 和 搞这么麻烦是为了啥？原因是这部分内容，对连续型和离散型随机变量都成立，离散型随机变量在某一个点有具体的不为0的概率值，因此不能忽略！

❞

2 连续型随机变量及其概率密度

定义，如果随机变量的分布函数,存在非负函数，使对于任意实数有

则称 为「连续型随机变量」 ，其中函数称为的「概率密度函数」，简称「概率密度」

概率密度具有以下性质：

对于任意实数 ，

若在处连续，则有

连续型随机变量，任取一个指定实数的概率为，即

证明如下：

❝

根据分布函数定义，有 ,我们知道 表示 在处理左极限，即 , 由于 在定义域内连续，所以有

❞

相关推论：

这里虽然 , 但随机变量是可以取到 点的， 也就是说 对于事件，如果其发生的概率, 不一定是 不可能事件， 但是如果已经知道 是不可能事件，则必有

连续型随机变量，计算区间概率时，区间端点可有可无，即

由第二条可知，我们假设 , 会发现虽然， 但是却不能取到 点，所以得出结论：对于事件，如果其发生的概率，则不一定是必然事件，但是如果已经知道 是必然事件，则必有

3 重要的连续型随机变量分布

31 均匀分布

若连续型随机变量具有概率密度

则称在区间 上服从「均匀分布」，记作

❝

必要性证明

❞

分布函数

性质

落在子区间内的概率，只跟子区间长度有关，跟子区间位置无关，证明很简单，不再赘述

应用

在公交站台的等车时间，针落在坐标纸上的倾斜角等

32 指数分布

若连续型随机变量具有概率密度

其中为常数，则称服从参数为的「指数分布」，记作

❝

必要性证明

❞

分布函数

性质

「无记忆性」，如果是某一元件的寿命，那么已知原件已经使用了小时，它总共能用至少 小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能用 小时的概率相等，数学表达式为

❝

证明如下

❞

应用

服务系统的服务时间，通话时间，某消耗品的寿命等

33 正态分布

若连续型随机变量具有概率密度

其中为常数，则称服从参数为的「正态分布」或「高斯(Gauss)分布」，记作

❝

必要性证明

很明显, 下面证明

令 ，则

我们先求 的积分，很难直接求出其积分，我们需要用到一个技巧，令

❞

分布函数

性质

正态分布曲线关于 对称

当 时取得最大值，

其他特性，可参考下图理解:

❝

曲线在 处有拐点

曲线以轴为渐近线

离越远，的值就越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，落在这个区间的概率就越小

如果固定,改变的值，则图形沿着轴平移，而不改变其形状。被称作位置参数(参考下图**和蓝色的线)

如果固定,改变的值，由于其最大值 随着变小，而变得越尖，因而落在附近的概率变大 (参考下图红色和**的线)

❞

当 时称随机变量服从「标准正态分布」，其概率密度和分布函数分别用和表示，则有

由性质很容易推知:

❝

证明如下：

的分布函数为

❞

❝

第二种证明方法， 令 则

❞

由该引理可知

❝

我们看到，正态分布的值落在内几乎时肯定的事情，这就是「 法则」

❞

设，若 满足条件

，

则称点为标准正态分布的「上 分位点」

应用

在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或者近似服从正态分布。例如，一个地区的男性成年人身高，测量某零件长度的误差，海洋波浪的高度，半导体器件中的热噪声电流或电压等。后续我们还会介绍正态分布的其他重要特性

数据库

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您是想问优炫数据库与达梦区别是什么吗？优炫数据库与达梦的区别是部署方式不同。优炫数据库是本地部署，而达梦数据库是云原生部署。优炫数据库管理系统是北京优炫软件股份有限公司研发的企业级安全可信数据库，拥有自主知识产权。

需要。

DM管理工具MANAGER，在打开以后，可以在左侧导航栏菜单处看到注册服务的按钮，点击注册连接，此时d出新建服务器连接的d窗，首先设置登录信息，包括主机名、端口、用户名、认证方式和密码等信息。同时可以选择是否保存密码，保存后后期连接不需要输入密码，自动补全。然后设置注册信息，比如连接名，描述等，如果连接的数据库很多，可以分组管理，划分到不同组中，组需要提前通过配置连接组配置。设置完成后测试连接，ok，没有问题。

达梦数据库管理系统是达梦公司推出的具有完全自主知识产权的高性能数据库管理系统，简称DM。达梦数据库管理系统的最新版本是80版本，简称DM8。

首先，必须强调的一点是达梦数据库确实是具有自主知识产权的国产数据库。

To 那些连达梦数据库安装软件都没见到过而乱喷的朋友们：

达梦数据库与国外Oracle比起来确实没有什么优势，达梦数据库确实存在很多问题，但是，达梦在发展，努力改进产品，努力缩小与国外产品的优势，至少达梦是国产基础软件中敢站出来在市场上竞争的。

朋友们，你们一边用着国内外的盗版软件，一边喷国产软件烂，难道你们就没有一丢丢的内疚？软件的成长不是靠软件厂商的努力，也需要用户的配合，为什么提到国产基础软件，你们就想喷？有多少人真正实打实的用过，评估过？

国产基础软件承载了国家的期望，国家给予了一定的支持，你们就说成骗钱了，这么好骗，你倒是骗出一个达梦数据库来看看。

批评可以，如果给达梦数据库指出了具体的问题，达梦一定会认证听取，努力改进，但是请在喷之前问问自己是不是有理有据

还有一点，达梦数据库现在已经走出国门了

达梦是一家国产数据库，根据它的介绍，感觉还不错。不过实际使用暂时未知，它号称是国产第一，但是又有其他数据库说是中国老大，这个没法评估，还需要实际测测才知道。不过看过论坛的评论，貌似它兼容oracle比较好

收费。达梦数据库是一款商业性质的数据库产品，任何项目需要收费才能使用，由于不同的版本和功能模块，收费标准也不同。达梦数据库管理系统是达梦公司推出的具有完全自主知识产权的高性能数据库管理系统，简称DM。

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