高中数学关于向量的题求解

若向量a与向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与向量c共线；错：取b=0

向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面；错：向量只有方向、大小，没有确定的位置。

零向量没有确定的方向。 对。

两一面直线方向向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)垂线的方向向量c=a×b，向量积

当然，要是不会这个运算可以求解方程组，

设c=(x,y,z)

c和每条直线垂直

ca=0

cb=0

此时是向量内积，得到一个三元的方程组，有两个方程

即可求得垂线方向向量

由于c的模长只要不为0，那么对应c都会和两条直线垂直

因此模可变。只要将方程组中的X,Y,Z任何一个赋值，即可

坐标表示：

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：

 ，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

根据定义，任取平面上两点

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

运算：

AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

扩展资料：

给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2、上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)

参考资料来源：百度百科-平面向量  

向量的来源[编辑本段]规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．向量的由来 向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型． 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系． 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析． 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具向量的运用[编辑本段]在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．平行向量与相等向量[编辑本段]方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．向量的运算[编辑本段]1、向量的加法：AB+BC=AC设a=（x,y） b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=（x,y） b=(x',y')a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·|b|cos夹角设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量p1p=λ向量pp2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)x=(x1+λx2)/(1+λ)则有｛y=(y1+λy2)/(1+λ)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式4、数乘向量实数∮和向量a的乘积是一个向量，记作∮a，且∣∮a∣=∣∮∣∣a∣,当∮＞0时，与a同方向；当∮＜0时，与a反方向。实数∮叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型． 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系． 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析． 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具

既有方向又有大小的量叫做向量。在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量的表示向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度，或向量的模，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。下面我给大家带来数学必修4平面向量公式 总结 ，希望对你有帮助。

数学必修4平面向量公式

高中数学必修4平面向量知识点

坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成 ，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

来表示平面内的各个方向 在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示

向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量a、b、c平行，记作a∥b∥c0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b零向量与零向量相等任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关

向量的运算

1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=(x,y) b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0

若a垂直b

则ab=0

则xx`+yy`=0

高中 数学 学习 方法

抓好基础是关键

数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术

做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点什么方法我们从中得到了解题的什么方法这一类习题中有什么解题的通性实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

归纳数学大思维

数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的 经验 和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。

积累考试经验

本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。

课程视频

概念:

计算机图形:

1光栅化 Rasterization

2曲线和曲面 Curves and Meshes

3光线追踪 Ray Tracing

4动画/模拟 Animation / Simulation

图形学需要的线性代数并不多,主要是向量和矩阵的一些知识

(先图后文)

长度和方向

1向量的长度

2单位向量的表示

向量加法的平行四边形法则(平移)和三角形法则(首尾相连)

向量在坐标系中的表示:

1(4,3)就表示多少个x和多少个y

2第一个是列向量表示,第二个是行向量表示,第三个是长度表示

向量点乘:

1输入向量,输出数值

2向量相乘等于长度相乘再乘夹角余弦

3得出夹角等于ab相乘出去长度乘积,也就是单位向量相乘

4交换律结合律分配律

5由于cos90=0,因此垂直的向量点乘为0

点乘在坐标系的运算

求b在a上的投影:

1方向肯定是和a一样的,所以等于k倍的a的单位向量,k是长度,也就是b的长度乘夹角余弦,夹角余弦等于a单位向量乘b单位向量,

2于是可以把一个向量分解成两个向量

点乘的一个用法:

1a向量的方向为标准,以上半区为前,下半区为后,一个向量与a的点乘如果是正数,则方向为前,如果是负数,则方向为后

2一个向量与a的点乘,越接近1,则接近a,0为垂直,-1为最远

向量的x乘与点乘完全不同:

1结果是一个新的向量,这个向量同时垂直于原来的两个向量

2长度是长度相乘和夹角sin值的乘积

3新的向量的方向可以由右手定则确定,举例:图中a x b,四指的方向摆成与以a的方向为准,从a的顶端到b的顶端的方向相同,大拇指即是是新向量c的方向,也就是向上的,

4因此,如果是b x a,那么c应该是向下的和点乘不同,不满足交换律

5a x a = 0,因为sin0 = 0,但是结果仍然是一个向量,也就是零向量,并非数值

1结果是一个向量

2上面是二维坐标系,下面是三维坐标系

向量x乘的用法:正左负右,注意左右不一定是视觉上的,参考右边的例子

1左边的图,假设a和b都是在x,y平面上的,a x b根据右手定则,跟随x的方向,从x顶点到y顶点,或者说从a顶点到b顶点,得到的新向量是和z一样的,也就是正的(+Z),则b在a的左边

2如果是b x a,得到的向量方向与z相反(-Z),则a在b的右边

3右边的图,判断p点是不是在三角形内,首先ab x ap,结果是正的,得到ap在ap的左边,然后bc x bp,得到bp在bc左边,最后ca x cp,得到cp在ca左边,三次都是正的,证明p在三角形内部

4如果是反过来画,三次得到的都是负的,也能证明在内部,如果有一个结果不同,则就在外部,根据是哪个结果,能判断在三角形外部什么方向

把空间一个向量分解为互相垂直的三个方向上

并且uvw是单位向量

结合前面的投影那张图

1分解后的向量相加得到原来的向量,因此分解成三个互相垂直的向量p1+p2+p3 = p

矩阵乘法:必须是一个列数等于另一个的行数才可以相乘

1举例:假设是矩阵AB+P,P中的13,是1行4列,于是去找矩阵A中的1行(1,3),和矩阵B的4列(4,3),计算1x4+3x3 = 13

矩阵乘法不适用交换律对换位置结果不同

这里是一个根据y轴镜像的效果

行和列互换,并且A乘B后转置等于B先转置再乘上A的转置

1I是一个单位矩阵,只在左上角到右下角的对角线上有非零的数,叫做单位矩阵

2如果一个矩阵A与矩阵B相乘得到一个单位矩阵,那么B就是A的逆矩阵,互逆矩阵也有类似转置的特性

1A点乘B,可以表示成A的转置点乘B,因为向量默认是列向量,所以要把A先转置才能乘,最后得到一个数值

2AxB,需要先把A特殊处理,按照图中进行转换

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