【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp

概述题目大意：给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$，满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)，$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$。 现在给你一个多项式$h(x)$，满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$ 请输出多项式$h$的前$k$项，在模

题目大意：给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$，满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)，$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$。

现在给你一个多项式$h(x)$，满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

请输出多项式$h$的前$k$项，在模8244353$意义下进行。

 

数据范围：$n,m≤10^5$。

我们现在有:

$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$

我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align} ln \big(f(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n} ln(a_i+1) \=&\sum\limits_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}\end{align}$

我们不难推出：

$[x^k]ln(f(x))=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}$

$g(x)$同理。

 

我们现在来考虑$h(x)$，我们现在有：

$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$

和上面一样，我们在等式两边都取对数，然后泰勒展开，得到：

$\begin{align}
ln\big(h(x)\big) =&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ln(a_ib_j+1)\\
=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^ka_i^{k}b_j^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} b_i^{k}\\
=&\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(-1)^{k+1}}x^k \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
\end{align}$

我们不难推出：

$\begin{align}[x^k]ln(h(x))=&\frac{k}{(-1)^{k+1}} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}a_i^{k}\sum\limits_{i=1}^{m} \frac{(-1)^{k+1}}{k}b_i^{k}\\
=&\frac{k}{(-1)^{k+1}}[x^k]ln\big(f(x)\big)ln\big(g(x)\big)
\end{align}$

 

 

 

 

 

 

我们可以考虑，用多项式求$ln$，求出$ln\big(f(x)\big)$和$ln\big(g(x)\big)$，然后求出$ln(h(x))$后再用多项式$exp$算回去，就得到多项式$h$了。

套一个多项式的板子就可以了。

完结撒花

  1 #include<bits/stdc++.h>  2 #define M (1<<19)  3 #define L long long  4 #define MOD 998244353  5 #define G 3  6 using namespace std;  7   8 L pow_mod(L x,L k){  9     L ans=1; 10     while(k){ 11         if(k&1) ans=ans*x%MOD; 12         x=x*x%MOD; k>>=1; 13     } 14     return ans; 15 } 16  17 voID change(L a[],int n){ 18     for(int i=0,j=0;i<n-1;i++){ 19         if(i<j) swap(a[i],a[j]); 20         int k=n>>1; 21         while(j>=k) j-=k,k>>=1; 22         j+=k; 23     } 24 } 25 voID NTT(L a[],int n,int on){ 26     change(a,n); 27     for(int h=2;h<=n;h<<=1){ 28         L wn=pow_mod(G,(MOD-1)/h); 29         for(int j=0;j<n;j+=h){ 30             L w=1; 31             for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){ 32                 L u=a[k],t=w*a[k+(h>>1)]%MOD; 33                 a[k]=(u+t)%MOD; 34                 a[k+(h>>1)]=(u-t+MOD)%MOD; 35                 w=w*wn%MOD; 36             } 37         } 38     } 39     if(on==-1){ 40         L inv=pow_mod(n,MOD-2); 41         for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD; 42         reverse(a+1,a+n); 43     } 44 } 45  46 voID getinv(L a[],L b[],int n){ 47     if(n==1){b[0]=pow_mod(a[0],MOD-2); return;} 48     static L c[M],d[M]; 49     memset(c,0,n<<4); memset(d,n<<4); 50     getinv(a,c,n>>1); 51     for(int i=0;i<n;i++) d[i]=a[i]; 52     NTT(d,n<<1,1); NTT(c,1); 53     for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=(2*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD; 54     NTT(b,-1); 55     for(int i=0;i<n;i++) b[n+i]=0; 56 } 57  58 voID qiudao(L a[],int n){ 59     memset(b,sizeof(b)); 60     for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=i*a[i]%MOD; 61 } 62 voID jifen(L a[],int n){ 63     memset(b,sizeof(b)); 64     for(int i=0;i<n;i++) b[i+1]=a[i]*pow_mod(i+1,MOD-2)%MOD; 65 } 66  67 voID getln(L a[],int n){ 68     static L c[M],d[M]; 69     memset(c,n<<4); 70     qiudao(a,n); getinv(a,d,n); 71     NTT(c,1); NTT(d,1); 72     for(int i=0;i<(n<<1);i++) c[i]=c[i]*d[i]%MOD; 73     NTT(c,-1); 74     jifen(c,b,n); 75 } 76  77 voID getexp(L a[],int n){ 78     if(n==1){b[0]=1; return;} 79     static L lnb[M]; memset(lnb,n<<4); 80     getexp(a,n>>1); getln(b,lnb,n); 81     for(int i=0;i<n;i++) lnb[i]=(a[i]-lnb[i]+MOD)%MOD,b[i+n]=0; 82     lnb[n]=0; 83     lnb[0]=(lnb[0]+1)%MOD; 84     NTT(lnb,1); NTT(b,1); 85     for(int i=0;i<(n<<1);i++) b[i]=b[i]*lnb[i]%MOD; 86     NTT(b,-1); 87     for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=0; 88 } 89  90 int n,m,k,len; 91 L f[M]={0},g[M]={0},h[M]={0},lf[M]={0},lg[M]={0},lh[M]={0}; 92  93 int main(){ 94     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 95     for(len=1;len<=(n+m+2);len<<=1); 96     for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",f+i); 97     for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",g+i); 98     getln(f,lf,len); 99     getln(g,lg,len);100     for(int i=0;i<len;i++) lh[i]=(lf[i]*lg[i]%MOD*(i&1?i:-i)%MOD+MOD)%MOD;101     getexp(lh,h,len);102     for(int i=0;i<k;i++) printf("%lld ",h[i]);103 }

总结

以上是内存溢出为你收集整理的【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp全部内容，希望文章能够帮你解决【xsy2978】Product of Roots 生成函数+多项式ln+多项式exp所遇到的程序开发问题。

如果觉得内存溢出网站内容还不错，欢迎将内存溢出网站推荐给程序员好友。