【线性代数】求核空间K（A）的一组基。

x2,x4叫自由未知量，取任何值都行，令x2=1，,x4=0，得到一组解(1,1,0,0) ，再令x2=0，,x4=1，得到一组解(1,0,-1,1) ，这两个解是线性无关的，核空间K（A）的维数=未知量个数-系数矩阵的秩=2，所以(1,1,0,0) (1,0,-1,1)就是核空间的一组基。

把A看成一个线性变换对应的矩阵。那么
AX=0表示X属于A的核空间。所以t等于A核空间维数。
把A作用在单位矩阵上，得到的向量就是A的列向量。
它们张成的空间构成了A的像空间（任何一个向量都看成单位矩阵的列向量线性组合，作用A以后就是A的列向量对应的线性组合）。所以A的像空间维数就是A的列向量的秩。
对于线性变换，核空间维数+像空间维数=n（这个定理书上应该有吧？汗~）；
就得到你要的结论。

定义：设 是线性空间V的一个线性变换, 的全体像组成的集合称为 的值域,记作

所有被 变成零向量的向量组成的集合称为 的核,记作

,

注：线性变换的值域与核都是V的子空间
故 对加法与数量乘法封闭,且 非空

故 是V的子空间

由
即 对加法与数量乘法封闭

又 ,故

即 非空

故 是V的子空间

的维数称为 的秩, 的维数称为 的零度

例：在线性空间 中,令 ,则 的值域为 , 的核为

定理：设 是n维线性空间V的线性变换, 是V的一组基,在这组基下 的矩阵是A,则

1 的值域 V是由基像组生成的子空间,即

2 的秩=A的秩

证明：
注：定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变

定理：设 是n维线性空间V的线性变换,则 的一组基的原像及 的一组基合起来即 的一组基,故

的秩+ 的零度=n

证明：
推论：有限维线性空间的线性变换是单射的充要条件为它是满射

证明：
注： 与 的维数之和为n,但 不一定是整个空间

例：设 是一个 矩阵, ,证明： 相似于一个对角矩阵
证：

用size函数可以求矩阵维数，用reshape可以改变数据维数。
如：
>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
>> size(a)
ans =
3 3
说明矩阵a是3行3列的。
>> reshape(a,1,9)
ans =
1 4 7 2 5 8 3 6 9
可以讲数组a变成1行9列的。
A
[row column]=size(A)
reshape
要改变矩阵的维数可以直接加：
A(m,:)=[ ];
A(:,n)=[ ];

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