设X,Y独立且都服从正态分布,试求E[max(x,y)]

z=max(x,y)，z的分布函数为F（z）＝（G（z））＾2，其中G（z）为正态分布函数的分布，所以z的密度函数为f（z）＝2G（z）g(z)。

所以E=积分2zG（z）g(z)dz，上下限为负无穷到正无穷，此时期望是个二重积分，交换积分次序，得到E=1/根号pi。

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。


从上图可以看出，曲线在(-5,0)和(5,10)之间分别都与y=0有交点，因此有两个解。
定义函数并求解
function y=f(x)
y=1/6250exp(-1/50(x-3)^2)2^(1/2)(-16+x^2-6x)/pi^(1/2);
r=fzero('f',-5)
r = -2
>> r=fzero('f',5)
r = 80000
从而得到了两个拐点x=8和x=-2，也即mu +- sigma。
5）验证曲线以x轴为渐近线渐近线求解：
A 垂直渐近线 x=a是y=f(x)的渐近线<==>lim f(x)=∞或lim f(x)=∞
x->a+0 x->a-0
其中a在间断点中找——∞型第二类间断点B 水平渐近线
x+∞（-∞）时，y=b是y=f(x)的渐近线<==>lim f(x)=b （或lim f(x)=b)
x->+∞ x->-∞
求其一阶倒数在x趋向于无穷大时的极限值b，若存在，即有水平渐近线y=b。
先定义函数：
function y=f(x)
syms x; %定义符号变量。
y=exp(-1/2((x-3)/5)^2)/(sqrt(2pi)5);
求x趋向无穷大时一阶导数的极限
limit(f,inf)
ans = 0
6）验证 3 sigma 法则
思路：求解概率密度函数在[mu-3sigma,mu+3sigma]区间上的积分。
y='exp(-1/2((x-3)/5)^2)/(sqrt(2pi)5)';
double(int(y,-12,18))
ans = 09973

如下图，可以转化为标准正态分布计算，需要查表。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

：

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；d着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

参考资料：

百度百科-正态分布

一、DF检验：随机游走序列Xt=Xt-1+μt是非平稳的，其中μt是白噪声。而该序列可看成是随机模型Xt=ρXt-1+μt中参数ρ=1时的情形。

零假设H0：δ=0；备择假设H1：δ<0可通过OLS法估计Xt=α+δXt-1+μt并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：t<临界值，则拒绝零假设H0：δ=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。

二、ADF检验：在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR（1）生成的。

但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验。

独立四格表资料检验

四格表资料的卡方检验用于进行两个率或两个构成比的比较。

1、专用公式：

若四格表资料四个格子的频数分别为a，b，c，d，则四格表资料卡方检验的卡方值=n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，（或者使用拟合度公式）

自由度v=（行数-1）（列数-1）=1

2、应用条件：

要求样本含量应大于40且每个格子中的理论频数不应小于5。当样本含量大于40但有1=<理论频数<5时，卡方值需要校正，当样本含量小于40或理论频数小于1时只能用确切概率法计算概率。

百度百科-卡方检验

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