关于梯度等于切平面的法向量的问题 求证明过程

首先有个前提“过一点的切平面是唯一的”这个不证明。
设曲面方程F（x,y,z)=0有连续连续偏导数，任取方程上一点M0（x0,y0,z0),
对于过M0的任意一条曲线l,设参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t),满足F(x(t),y(t),z(t))=0。
参数方程在M0点，设对应点为（x(t0),y(t0),z(t0)），
对F求导可得
Fx(M0)x'(t0)+Fyy'(t0)+Fzz'(t0)=0
可以看出向量n=（Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0)）与向量t=（x(t0),y(t0),z(t0)）垂直
因为t是曲线l过M0的切线，而切平面是唯一的，当曲线l任取时，t总在切平面上，故n为切平面的法向量。
对比梯度的定义（Fx,Fy,Fz）可知，在曲面上任意一点的梯度等于过该点切平面的法向量

梯度的几何意义，详细介绍如下：

一、梯度简介：

1、梯度的本意是一个向量矢量，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向，此梯度的方向变化最快，变化率最大为该梯度的模。

2、梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。函数在一点沿梯度方向的变化率最大，最大值为该梯度的模。

二、几何意义：

1、设体系中某处的物理参数，如温度，速度，浓度等，在与其垂直距离处该参数为则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度，浓度，温度或空间，则分别称为速度梯度，浓度梯度，温度梯度或空间梯度。、

2、在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。

3、在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

设
r(s)=r0+ts r0 为起始 位置 ,t 为 r(s) 的增长方向
d f(r)/ds|(s=0)=gradft
所以当 t 的方向与 grad 相同时增长最快既最陡
譬如平面向量是以 scalr grad vector,它与平面垂直

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