有限差分求解偏微分方程matlab

如何使用matlab，用有限差分求解偏微分方程？

求解思路：把偏微分方程离散化，采用合适的差分方法，将复杂的方程简化成简单的线性方程组，最后求解线性方程组，得到其数值解。

现以一维扩散方程为例，说明其计算过程。

第一步，根据条件，建立边界条件和初始条件，即

g0=@(t)zeros(size(t))

g1=g0%边界条件

eta=@(x)sin(pi*x)%初始条件

第二步，设置网格数，即

n=101%网格数

m=101%网格数

第三步，设置步长，即

h=0.01%步长

k=0.01%步长

第四步，设置t和x的初始值，即

t0=0%t的初始值

x0=0%x的初始值

第五步，确定扩散系数，即

K=1/pi^2

第六步，自定义Crank-Nicolson差分格式解函数

[t,x,U]=diffusion_sol1(h,k,t0,x0,n,m,eta,g0,g1,K)

第七步，绘制偏微分方程解的曲面，即

surf(t,x,U)

最后，运行程序得到一维扩散方程数值解的曲面图

pdepe()函数的一般调用格式是：sol=pde...

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例题：解下列偏微分方程组，方程如下图...

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pdefun的命令为：function[c,f,s]=pdef...

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初始条件：初始条件标准形式：[u1u2]=...

4

边界条件：左边界：[0u2]+[10].*f=[0...

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求解偏微分方程组计算程序如下所示：>>...

MATLAB提供两种解决PDE问题:

pdepe()函数求解般PDEs据用较通用性支持命令行形式调用

二PDE工具箱求解特殊PDE问题PDEtool较局限性比能求解二阶PDE问题并且能解决偏微程组提供GUI界面繁杂编程解脱同通File->Save As直接M代码

MATLAB语言提供pdepe()函数直接求解般偏微程(组)调用格式

sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)

【输入参数】

@pdefun:PDE问题描述函数必须换面标准形式

PDE编写面入口函数

[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)

m,x,t应于(式1)相关参数duu阶导数由给定输入变量即表示c,f,s三函数

@pdebc:PDE边界条件描述函数必须先化面形式

于边值条件编写面函数描述

[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)

其a表示边界b表示边界

@pdeic:PDE初值条件必须化面形式

股我使用面简单函数描述

u0=pdeic(x)

m,x,t:应于(式1)相关参数

【输参数】

sol:三维数组sol(:,:,i)表示ui解换句说uk应x(i)t(j)解sol(i,j,k)

通sol我使用pdeval()直接计算某点函数值

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